$(m^2+1)(n^2+1)=(mn-<!--\; -\; -->1{)}^2+(n+m{)}^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(m^2+1)(n^2+1)=m^2{n}^2+n^2+m^2+1$
Преобразуем правую часть равенства:
$(mn-<!--\; -\; -->1{)}^2+(n+m{)}^2=m^2{n}^2-<!--\; -\; -->2mn+1+n^2+2mn+m^2=m^2{n}^2+n^2+m^2+1$
Тождество доказано.

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-<!--\; -\; -->bd{)}^2+(bc+ad{)}^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2{c}^2+b^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{d}^2$
Преобразуем правую часть равенства:
$(ac-<!--\; -\; -->bd{)}^2+(bc+ad{)}^2=a^2{c}^2-<!--\; -\; -->2abcd+b^2{d}^2+b^2{c}^2+2abcd+a^2{d}^2=a^2{c}^2+b^2{c}^2+a^2{d}^2+b^2{d}^2$
Тождество доказано.