$(m^2 + 1)(n^2 + 1) = (mn - 1)^2 + (n + m)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(m^2 + 1)(n^2 + 1) = m^2n^2 + n^2 + m^2 + 1$
Преобразуем правую часть равенства:
$(mn - 1)^2 + (n + m)^2 = m^2n^2 - 2mn + 1 + n^2 + 2mn + m^2 = m^2n^2 + n^2 + m^2 + 1$
Тождество доказано.

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (bc + ad)^2$
Преобразуем левую часть равенства:
$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Преобразуем правую часть равенства:
$(ac - bd)^2 + (bc + ad)^2 = a^2c^2 - 2abcd + b^2d^2 + b^2c^2 + 2abcd + a^2d^2 = a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2$
Тождество доказано.