ГДЗ Алгебра 7 класс Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин

ГДЗ Алгебра 7 класс Никольский, Потапов, Решетников, Шевкин

авторы: , , , .
издательство: Просвещение

Раздел:

Алгебра 7 класс Никольский. 1. Делимость чисел. Номер №176

Докажите обратное утверждение для каждого признака делимости.

Решение

Обратное утверждение для признака делимости на 2:
Если число

a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 2, то его последняя цифра делится на 2.
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 = a n 10...0 + . . . + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = a n ( 10 n 1 10 ) + . . . + a 2 ( 10 10 ) + a 1 10 + a 0 = 10 ( 10 n 1 a n + . . . + 10 a 2 + a 1 ) + a 0
− первое слагаемое делится на 2, так как 10 = 2 * 5 и сумма, равная числу a по условию делится на 2, значит и второе слагаемое
a 0
− делится на 2, так как сумма четных чисел число четное.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 3:
Если число
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 = a n 10...0 + . . . + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = a n ( 99...9 + 1 ) + . . . + a 2 ( 99 + 1 ) + a 1 ( 9 + 1 ) + a 0 = 99...9 a n + a n + . . . + 99 a 2 + a 2 + 9 a 1 + a 1 + a 0 = 3 ( 33...3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 ) + ( a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 )
− так как первое слагаемое делится на 3 и сумма, равная числу a по условию делится на 3, то и второе слагаемое делится на 3.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 9:
Если число
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 9, то сумма его цифр делится на 9.
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 = a n 10...0 + . . . + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = a n ( 99...9 + 1 ) + . . . + a 2 ( 99 + 1 ) + a 1 ( 9 + 1 ) + a 0 = 99...9 a n + a n + . . . + 99 a 2 + a 2 + 9 a 1 + a 1 + a 0 = 9 ( 11...1 a n + . . . + 11 a 2 + a 1 ) + ( a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 )
− так как первое слагаемое делится на 9 и сумма, равная числу a по условию делится на 9, то и второе слагаемое делится на 9.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 4:
Если число
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 4, то две последние цифры образуют число
a 1 a 0 ¯
, которое делится на 4.
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = 100 ( a n 10 n 2 + . . . + a 2 ) + a 1 10 + a 0 = 25 4 ( a n 10 n 2 + . . . + a 2 ) a 1 a 0 ¯
− так как первое слагаемое делится на 4, и сумма, равная числу a по условию делится на 4, то и второе слагаемое делится на 4.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 5:
Если число
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 5, то оно оканчивается цифрой
a 0
, которая делится на 5.
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = 10 ( a n 10 n 1 + . . . + a 2 + a 1 ) + a 0 = 5 2 ( a n 10 n 1 + . . . + a 2 + a 1 ) + a 0
− так как первое слагаемое делится на 5, и сумма, равная числу a по условию делится на 5, то и второе слагаемое делится на 5.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 10:
Если число
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 10, то оно оканчивается цифрой
a 0 = 0
.
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = 10 ( a n 10 n 1 + . . . + a 2 + a 1 ) + a 0
− так как первое слагаемое делится на 10, и сумма, равная числу a по условию делится на 10, то и второе слагаемое делится на 10, а значит оканчивается цифрой 0.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 11:
Если число
a = a 5 . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 11, то
a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4 a 5 ¯
делится на 11.
a = a 5 . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a 5 10 5 + . . . + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0 = a 5 10...0 + . . . + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = a 5 ( 10001 1 ) + . . . + a 2 ( 99 + 1 ) + a 1 ( 11 1 ) + a 0 = 10001 a 5 a 5 + . . . + 99 a 2 + a 2 + 11 a 1 a 1 + a 0 = 11 909 a 5 + . . . + 11 9 a 2 + 11 a 1 + ( a 5 + a 4 a 3 + a 2 a 1 + a 0 ) = 11 ( 909 a 5 + . . . + 9 a 2 + a 1 ) + ( a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4 a 5 )
− так как первое слагаемое делится на 11, и сумма, равная числу a по условию делится на 11, то и второе слагаемое делится на 11.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число
a = a n . . . a 3 a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 125, то
a 2 a 1 a 0 ¯
(при
a 1 0
) делится на 125, или
a 2 = a 1 = a 0 = 0
.
a = a n . . . a 3 a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 3 1000 + a 2 a 1 a 0 ¯ = 1000 a n 10 n 3 + . . . + a 3 1000 + a 2 a 1 a 0 ¯ = 1000 ( a n 10 n 3 + . . . + a 3 ) + a 2 a 1 a 0 ¯ = 125 8 ( a n 10 n 3 + . . . + a 3 ) + a 2 a 1 a 0 ¯
− так как первое слагаемое делится на 125, и сумма, равная числу a по условию делится на 125, то и второе слагаемое делится на 125.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 8:
Если число
a = a n . . . a 3 a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 8, то
a 2 a 1 a 0 ¯
(при
a 1 0
) делится на 8, или
a 2 = a 1 = a 0 = 0
.
a = a n . . . a 3 a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 3 1000 + a 2 a 1 a 0 ¯ = 1000 a n 10 n 3 + . . . + a 3 1000 + a 2 a 1 a 0 ¯ = 1000 ( a n 10 n 3 + . . . + a 3 ) + a 2 a 1 a 0 ¯ = 8 125 ( a n 10 n 3 + . . . + a 3 ) + a 2 a 1 a 0 ¯
− так как первое слагаемое делится на 8, и сумма, равная числу a по условию делится на 8, то и второе слагаемое делится на 8.
Утверждение доказано.
 
Обратное утверждение для признака делимости на 125:
Если число
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯
делится на 25, то
a 1 a 0 ¯
(при
a 1 0
) делится на 25, или
a 1 = a 0 = 0
.
a = a n . . . a 2 a 1 a 0 ¯ = a n 10 n + . . . + a 2 100 + a 1 a 0 ¯ = 100 a n 10 n 2 + . . . + a 2 100 + a 1 a 0 ¯ = 100 ( a n 10 n 2 + . . . + a 2 ) + a 1 a 0 ¯
− так как первое слагаемое делится на 25, и сумма, равная числу a по условию делится на 25, то и второе слагаемое делится на 25.
Утверждение доказано.




Instagram line