Пусть x количество монет по 2р., а y − количество монет по 5р, тогда:
2x + 5y = 29
2x = 29 − 5y
$x = \frac{29 - 5y}{2}$
Так как, количество монет натуральное число, то значение выражения 29 − 5y должно быть четным числом, а оно будет таким если 5y будет нечетным числом и меньше 29, тогда y должен быть так же нечетным числом.
Отсюда:
при y = 1:
$x = \frac{29 - 5 * 1}{2} = \frac{24}{2} = 12$;
при y = 3:
$x = \frac{29 - 5 * 3}{2} = \frac{29 - 15}{2} = \frac{14}{2} = 7$;
при y = 5:
$x = \frac{29 - 5 * 5}{2} = \frac{29 - 25}{2} = \frac{4}{2} = 2$, следовательно тремя способами может рассчитаться за покупку Катя, не получая сдачи:
1) 12 монет по 2 рубля + 1 монета по 5 рублей;
2) 7 монет по 2 рубля + 3 монеты по 5 рублей;
3) 2 монеты по 2 рубля + 5 монет по 5 рублей.