$(4n + 1)^2 - (n + 4)^2 = 16n^2 + 8n + 1 - (n^2 + 8n + 16) = 16n^2 + 8n + 1 - n^2 - 8n - 16 = (16n^2 - n^2) + (8n - 8n) + (1 - 16) = 15n^2 - 15 = 15(n^2 - 1) = 15(n - 1)(n + 1)$
Если n − нечетное число, тогда (n − 1) и (n + 1) четные, причем одно из них делится на 4, соответственно (n − 1)(n + 1) делится на 8.
Отсюда следует, что 15(n − 1)(n + 1) делится на 120 при любом нечетном значении n.