Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №843

Докажите, что при любом значении n значение выражения
( 4 n + 1 ) 2 ( n + 4 ) 2
кратно 120.

Решение

( 4 n + 1 ) 2 ( n + 4 ) 2 = 16 n 2 + 8 n + 1 ( n 2 + 8 n + 16 ) = 16 n 2 + 8 n + 1 n 2 8 n 16 = ( 16 n 2 n 2 ) + ( 8 n 8 n ) + ( 1 16 ) = 15 n 2 15 = 15 ( n 2 1 ) = 15 ( n 1 ) ( n + 1 )

Если n − нечетное число, тогда (n − 1) и (n + 1) четные, причем одно из них делится на 4, соответственно (n − 1)(n + 1) делится на 8.
Отсюда следует, что 15(n − 1)(n + 1) делится на 120 при любом нечетном значении n.