Главная

Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №696

Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Решение

Пусть 3n + 1 первое натуральное число, тогда:
3n + 2 второе натуральное число.
Найдем сумму их кубов:
( 3 n + 1 ) 3 + ( 3 n + 2 ) 3 = ( 3 n + 1 + 3 n + 2 ) ( ( 3 n + 1 ) 2 ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 ) + ( 3 n + 2 ) 2 ) = ( 6 n + 3 ) ( 9 n 2 + 6 n + 1 ( 9 n 2 + 3 n + 6 n + 2 ) + 9 n 2 + 12 n + 4 ) = 3 ( 2 n + 1 ) ( 9 n 2 + 6 n + 1 9 n 2 3 n 6 n 2 + 9 n 2 + 12 n + 4 ) = 3 ( 2 n + 1 ) ( 9 n 2 + 9 n + 3 ) = 3 ( 2 n + 1 ) 3 ( 3 n 2 + 3 n + 1 ) = 9 ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n + 1 )
, следовательно сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.