Докажите, что данное выражение принимает положительные значения при всех значениях x. Укажите, какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении x:
1) $x^2 - 6x + 10$;
2) $16x^2 + 24x + 25$;
3) $x^2 + x + 1$.
$x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + 1 = (x - 3)^2 + 1$
$(x - 3)^2 ≥ 0$, следовательно $(x - 3)^2 + 1 ≥ 0$.
x − 3 = 0
x = −3, следовательно при x = 3 данное выражение принимает наименьшее значение:
$(x - 3)^2 + 1 = (3 - 3)^2 + 1 = 0 + 1 = 1$.
$16x^2 + 24x + 25 = 16x^2 + 24x + 9 + 16 = (4x + 3)^2 + 16$
$(4x + 3)^2 ≥ 0$, следовательно $(4x + 3)^2 + 16 ≥ 0$.
4x + 3 = 0
4x = −3
$x = -\frac{3}{4}$, следовательно при $x = -\frac{3}{4}$ данное выражение принимает наименьшее значение:
$(4x + 3)^2 + 16 = (4 * (-\frac{3}{4}) + 3)^2 + 16 = (-3 + 3)^2 + 16 = 0 + 16 = 16$.
$x^2 + x + 1 = x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$
$(x + \frac{1}{2})^2 ≥ 0$, следовательно $(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} ≥ 0$.
$x + \frac{1}{2} = 0$
$x = -\frac{1}{2}$, следовательно при $x = -\frac{1}{2}$ данное выражение принимает наименьшее значение:
$(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$
Пожауйста, оцените решение
