Четное число кратно двум, значит всегда нацело делится на 2, следовательно квадрат четного числа всегда будет нацело делится на 4, так как $2^2 = 4$. Получается что при делении квадрата четного натурального числа на 4, остаток будет равен 0.
Пусть 2n + 1 − нечетное натуральное число, тогда:
$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4(n^2 + n) + 1$
При делении выражения $4(n^2 + n) + 1$ на 4 остаток будет равен 1, так как выражение $4(n^2 + n)$ нацело делится на 4, так как кратно четырем и остается единица.
Отсюда получается, что при делении квадрата натурального нечетного числа на 4, остаток будет равен 1.