Пусть 2n + 1 − нечетное натуральное число, тогда:
$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1$
Среди последовательных натуральных чисел n и n + 1 обязательно одно число четное, а другое нечетное, тогда:
n(n + 1) − четное число, так как произведение четного и нечетного чисел, всегда число четное.
Так как n(n + 1) − число четное, значит оно делится нацело на 2, следовательно значение выражения 4n(n + 1) делится нацело на 8.
Отсюда следует, что при делении выражения 4n(n + 1) + 1 на 8, остаток будет равен 1.