Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №601

Древнегреческий ученый Евклид (III в. до н.э.) доказывал формулы квадрата суммы и квадрата разности двух выражений геометрически. Пользуясь рисунками 5 и 6, восстановите его доказательство.

Решение 1

Сторона большого квадрата на рисунке 5 равна a + b, следовательно площадь большого квадрата равна (a + b)^2.
Чтобы доказать формулу квадрата суммы, найдем площадь большого квадрата, как сумму площадей следующих фигур:
a 2
− площадь квадрата со стороной a;
2ab − площадь двух прямоугольников с длиной равной a и шириной равной b;
b 2
− площадь квадрата со стороной b, тогда:
S = a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2
.

Решение 2

Сторона среднего квадрата на рисунке 6 равна a − b, следовательно площадь этого квадрата равна (a − b)^2.
Чтобы доказать формулу квадрата суммы, найдем площадь среднего квадрата, как разность площадей следующих фигур:
a 2
− площадь большого квадрата со стороной a;
2((a − b)b) − площадь двух прямоугольников с длиной равной a − b и шириной равной b;
b 2
− площадь малого квадрата со стороной b, тогда:
S = a 2 2 ( ( a b ) b ) b 2 = a 2 2 ( a b b 2 ) b 2 = a 2 2 a b + 2 b 2 b 2 = a 2 2 a b + b 2 = ( a b ) 2
.