Пусть 2n + 1 − нечетноt натуральное число, тогда:
$(2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = (4n^2 + 4n) + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1$.
Значение выражения $2(2n^2 + 2n)$ всегда будет четным, так как оно кратно двум, следовательно:
$2(2n^2 + 2n) + 1$ − всегда нечетное число, так как сумма четного числа и единицы, всегда число нечетное.