Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №555

Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.



Решение

Пусть двузначные числа равны
a b ¯
и
b a ¯
, тогда:
( 10 a + b ) 2 ( 10 b + a ) 2 = 693

( 10 a + b ) 2 ( 10 b + a ) 2 = ( ( 10 a + b ) ( 10 b + a ) ) ( ( 10 a + b ) + ( 10 b + a ) ) = ( 10 a + b 10 b a ) ( 10 a + b + 10 b + a ) = ( 9 a 9 b ) ( 11 a + 11 b ) = 9 ( a b ) 11 ( a + b ) = 99 ( a b ) ( a + b )

99(a − b)(a + b) = 693
(a − b)(a + b) = 693 : 99
(a − b)(a + b) = 7
Число 7 является простым числом, то есть имеет ровно два делителя 1 и 7.
Так как (a − b) < (a + b), то:
(a − b) = 1
(a + b) = 7.
Выразим a через b:
a − b = 1
a = b + 1, тогда:
a + b = 7
b + 1 + b = 7
2b = 71
2b = 6
b = 6 : 2
b = 3
Найдем число a:
a − b = 1
a − 3 = 1
a = 1 + 3
a = 4, следовательно искомые числа равны:
a b ¯ = 43
;
b a ¯ = 34
.