Пусть двузначные числа равны $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$, тогда:
$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = 693$
$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = ((10a + b) - (10b + a))((10a + b) + (10b + a)) = (10a + b - 10b - a)(10a + b + 10b + a) = (9a - 9b)(11a + 11b) = 9(a - b)11(a + b) = 99(a - b)(a + b)$
99(a − b)(a + b) = 693
(a − b)(a + b) = 693 : 99
(a − b)(a + b) = 7
Число 7 является простым числом, то есть имеет ровно два делителя 1 и 7.
Так как (a − b) < (a + b), то:
(a − b) = 1
(a + b) = 7.
Выразим a через b:
a − b = 1
a = b + 1, тогда:
a + b = 7
b + 1 + b = 7
2b = 7 − 1
2b = 6
b = 6 : 2
b = 3
Найдем число a:
a − b = 1
a − 3 = 1
a = 1 + 3
a = 4, следовательно искомые числа равны:
$\overline{ab} = 43$;
$\overline{ba} = 34$.