Главная

Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №550

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:
1)
( 7 n + 4 ) 2 9
делится нацело на 7;
2)
( 8 n + 1 ) 2 ( 3 n 1 ) 2
делится нацело на 11;
3)
( 3 n + 7 ) 2 ( 3 n 5 ) 2
делится нацело на 24;
4)
( 7 n + 6 ) 2 ( 2 n 9 ) 2
делится нацело на 15.

Решение 1

( 7 n + 4 ) 2 9 = ( ( 7 n + 4 ) 3 ) ( ( 7 n + 4 ) + 3 ) = ( 7 n + 4 3 ) ( 7 n + 4 + 3 ) = ( 7 n + 1 ) ( 7 n + 7 ) = 7 ( 7 n + 1 ) ( n + 1 )
, следовательно значение выражения делится нацело на 7.

Решение 2

( 8 n + 1 ) 2 ( 3 n 1 ) 2 = ( ( 8 n + 1 ) ( 3 n 1 ) ) ( ( 8 n + 1 ) + ( 3 n 1 ) ) = ( 8 n + 1 3 n + 1 ) ( 8 n + 1 + 3 n 1 ) = 11 n ( 5 n + 2 )
, следовательно значение выражения делится нацело на 11.

Решение 3

( 3 n + 7 ) 2 ( 3 n 5 ) 2 = ( ( 3 n + 7 ) ( 3 n 5 ) ) ( ( 3 n + 7 ) + ( 3 n 5 ) ) = ( 3 n + 7 3 n + 5 ) ( 3 n + 7 + 3 n 5 ) = 12 ( 6 n + 4 ) = 12 2 ( 3 n + 2 ) = 24 ( 3 n + 2 )
, следовательно значение выражения делится нацело на 24.

Решение 4

( 7 n + 6 ) 2 ( 2 n 9 ) 2 = ( ( 7 n + 6 ) ( 2 n 9 ) ) ( ( 7 n + 6 ) + ( 2 n 9 ) ) = ( 7 n + 6 2 n + 9 ) ( 7 n + 6 + 2 n 9 ) = ( 5 n + 15 ) ( 9 n 3 ) = 5 ( n + 3 ) 3 ( 3 n 1 ) = 15 ( n + 3 ) ( 3 n 1 )
, следовательно значение выражения делится нацело на 15.