Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №342

Докажите, что:
1) сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3;
2) сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7;
3) сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 4;
4) сумма пяти последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 10.

Решение 1

Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 6 = 3(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 3, очевидно, что сумма трех последовательных натуральных чисел кратна 3.

Решение 2

Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3;
пятое число = n + 4;
шестое число = n + 5;
седьмое число = n + 6.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 n + 6 = 7n + 21 = 7(n + 3), так как выражение n + 3 умножается на 7, очевидно, что сумма семи последовательных натуральных чисел делится нацело на 7.

Решение 3

Пусть первое четное натуральное число равно 2n, тогда:
второе число = 2n + 2;
третье число = 2n + 4;
четвертое число = 2n + 6.
Найдем сумму:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 8n + 12 = 4(2n + 3), так как выражение 2n + 3 умножается на 4, очевидно, что сумма четырех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 4.

Решение 4

Пусть первое четное натуральное число равно 2n, тогда:
второе число = 2n + 2;
третье число = 2n + 4;
четвертое число = 2n + 6;
пятое число = 2n + 8.
Найдем сумму:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 10, очевидно, что сумма пяти последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 10.