Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3;
пятое число = n + 4.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 = 5n + 10 = 5(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 5, очевидно, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5.

Пусть первое четное натуральное число равно 2n, тогда:
второе число = 2n + 2;
третье число = 2n + 4.
Найдем сумму:
2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1), так как выражение n + 1 умножается на 6, очевидно, что сумма трех последовательных четных натуральных чисел делится нацело на 6.

Пусть первое нечетное натуральное число равно 2n + 1, тогда:
второе число = 2n + 3;
третье число = 2n + 5;
четвертое число = 2n + 7.
Найдем сумму:
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16 = 8(n + 2), так как выражение n + 2 умножается на 8, очевидно, что сумма четырех последовательных нечетных натуральных чисел делится нацело на 8.

Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 = (4n + 4) + 2 = 4(n + 1) + 2, сумма четырех последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4, а остаток при делении будет равен 2.

Пусть первое натуральное число равно n, тогда:
второе число = n + 1;
третье число = n + 2;
четвертое число = n + 3;
пятое число = n + 4;
шестое число = n + 5.
Найдем сумму:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 + n + 4 + n + 5 = 6n + 15 = (6n + 12) + 3 = 6(n + 2) + 3, следовательно остаток от деления на 6 суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.