Главная

Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №250

Докажите, что значение выражения:
1)
17 8 + 19
делится нацело на 10;
2)
64 64 1
делится нацело на 5;
3)
3 4 n + 14
, где n−натуральное число, делится нацело на 5.

Решение 1

Найдем цикл повторения последней цифры равной 7 при возведении числа 17 в степень по порядку:
7 2 = 49
;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения
7 3
, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 7, тогда:
7 3
− последняя цифра 3, так как 9 * 7 = 63;
7 4
− последняя цифра 1, так как 3 * 7 = 21;
7 5
− последняя цифра 7, так как 1 * 7 = 7;
7 6
− последняя цифра 9, так как 7 * 7 = 49;
7 7
− последняя цифра 3, так как 9 * 7 = 63;
7 8
− последняя цифра 1, так как 3 * 7 = 21, а так как 1 + 19 = 20, то значение выражения
17 8 + 19
оканчивается на 0, следовательно делится нацело на 10.

Решение 2

Найдем цикл повторения последней цифры равной 4 при возведении числа 64 в степень по порядку:
4 2 = 16
;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения
4 3
, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 4, тогда:
4 3
− последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 4
− последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16;
4 5
− последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
4 6
− последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16, то есть видно, что последней цифрой при возведении числа 64 в степень будет 6, при четном показателе степени, и цифра 4 при нечетном показатели степени. Так как в выражении
64 64
показатель степени четное число, то значение выражения
64 64
будет оканчиваться на цифру 6.
Так как 61 = 5, то значение выражения
64 64 1
будет оканчиваться на 5, а значит и делится нацело на 5.

Решение 3

3 4 n = ( 3 4 ) n = 81 n
, следовательно значение выражения
3 4 n
, оканчивается цифрой 1, так как у числа 81 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.
Так как 1 + 14 = 15, то значение выражения
3 4 n + 14
будет оканчиваться на 5, а следовательно и делиться нацело на 5.