Докажите, что значение выражения:
1)

17^{8} + 19

делится нацело на 10;
2)

64^{64} - 1

делится нацело на 5;
3)

3^{4 n} + 14

, где n−натуральное число, делится нацело на 5.

reshalka.com

Алгебре 7 класс Мерзляк. Номер №250

Решение 1

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Найдем цикл повторения последней цифры равной 7 при возведении числа 17 в степень по порядку:

7^{2} = 49

;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения

7^{3}

, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 7, тогда:

7^{3}

− последняя цифра 3, так как 9 * 7 = 63;

7^{4}

− последняя цифра 1, так как 3 * 7 = 21;

7^{5}

− последняя цифра 7, так как 1 * 7 = 7;

7^{6}

− последняя цифра 9, так как 7 * 7 = 49;

7^{7}

− последняя цифра 3, так как 9 * 7 = 63;

7^{8}

− последняя цифра 1, так как 3 * 7 = 21, а так как 1 + 19 = 20, то значение выражения

17^{8} + 19

оканчивается на 0, следовательно делится нацело на 10.

Решение 2

Найдем цикл повторения последней цифры равной 4 при возведении числа 64 в степень по порядку:

4^{2} = 16

;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения

4^{3}

, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 4, тогда:

4^{3}

− последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;

4^{4}

− последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16;

4^{5}

− последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;

4^{6}

− последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16, то есть видно, что последней цифрой при возведении числа 64 в степень будет 6, при четном показателе степени, и цифра 4 при нечетном показатели степени. Так как в выражении

64^{64}

показатель степени четное число, то значение выражения

64^{64}

будет оканчиваться на цифру 6.
Так как 6 − 1 = 5, то значение выражения

64^{64} - 1

будет оканчиваться на 5, а значит и делится нацело на 5.

Решение 3

3^{4 n} = (3^{4})^{n} = 81^{n}

, следовательно значение выражения

3^{4 n}

, оканчивается цифрой 1, так как у числа 81 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.
Так как 1 + 14 = 15, то значение выражения

3^{4 n} + 14

будет оканчиваться на 5, а следовательно и делиться нацело на 5.

ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир, 2018

Алгебре 7 класс Мерзляк. Номер №250

Алгебре 7 класс Мерзляк. Номер №250

Решение 1

Решение 2

Решение 3