Найдем цикл повторения последней цифры при возведении числа 4 в степень по порядку:
$4^{2} = 16$;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения $4^{3}$, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 4, тогда:
$4^{3}$ − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
$4^{4}$ − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16;
$4^{5}$ − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
$4^{6}$ − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16, то есть видно, что последней цифрой при возведении числа 4 в степень будет 6, при четном показателе степени, и цифра 4 при нечетном показатели степени. Так как в выражении $4^{40}$ показатель степени четное число, то значение выражения $40^{4}$ будет оканчиваться на цифру 6.
Так как 6 − 1 = 5, то значение выражения $4^{40} - 1$ будет оканчиваться на 5, а значит и делится нацело на 5.

Найдем цикл повторения последней цифры равной при возведении числа 2004 в степень по порядку:
$4^{2} = 16$;
для того, чтобы найти последнюю цифру значения $4^{3}$, умножаем последнюю цифру предыдущего значения на 4, тогда:
$4^{3}$ − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
$4^{4}$ − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16;
$4^{5}$ − последняя цифра 4, так как 6 * 4 = 24;
$4^{6}$ − последняя цифра 6, так как 4 * 4 = 16, то есть видно, что последней цифрой при возведении числа 4 в степень будет 6, при четном показателе степени, и цифра 4 при нечетном показатели степени. Так как в выражении $2004^{171}$ показатель степени нечетное число, то значение выражения $2004^{171}$ будет оканчиваться на цифру 4.
Последней цифрой значения выражения $171^{2004}$ будет 1, так как у числа 171 последняя цифра 1, а произведение двух чисел с цифрой 1 на конце, также имеет цифру 1 на конце.
Если сложить последние цифры значения выражений $2004^{171}$ и $171^{2004}$ получаем 5 = 4 + 1. Следовательно значение выражения $2004^{171} + 171^{2004}$ будет оканчиваться на 5, а значит и делится нацело на 5.