Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Другие варианты решения

Номер №1208

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения
n 7 n
кратно 42.

Решение

n 7 n = n ( n 6 1 ) = n ( n 3 1 ) ( n 3 + 1 ) = n ( n 1 ) ( n + 1 ) ( n 2 + n + 1 ) ( n 2 n + 1 ) = n ( n 1 ) ( n + 1 ) ( ( n 2 + 1 ) 2 n 2 )

n(n − 1)(n + 1) данное произведение делится нацело на 2 и на 3, а следовательно и на 6, так как является произведением трех последовательных натуральных чисел.
Докажем, что
n ( n 1 ) ( n + 1 ) ( ( n 2 + 1 ) 2 n 2 )
при любом n кратен 7:
при n = 1: 1(11)(1 + 1) = 0
при n = 6: 6(61)(6 + 1) = 6 * 5 * 7 кратно 7.
при n = 8: 8(81)(8 + 1) = 8 * 7 * 9 кратно 7.
при n = 2:
( 2 2 + 1 ) 2 2 2 = 25 4 = 21 = 3 7
кратно 7;
при n = 3:
( 3 2 + 1 ) 2 3 2 = 100 9 = 91 = 13 7
кратно 7;
при n = 4:
( 4 2 + 1 ) 2 4 2 = 289 16 = 273 = 39 7
кратно 7;
при n = 5:
( 5 2 + 1 ) 2 5 2 = 676 25 = 651 = 93 7
кратно 7;
при n = 9:
( 9 2 + 1 ) 2 9 2 = 6724 81 = 6643 = 949 7
кратно 7.
Следовательно при любом натуральном значении n значение выражения
n 7 n
одновременно делится нацело на 6 и на 7, а значит и на 42.
Другие варианты решения