$n^7 - n = n(n^6 - 1) = n(n^3 - 1)(n^3 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + n + 1)(n^2 - n + 1) = n(n - 1)(n + 1)((n^2 + 1)^2 - n^2)$
n(n − 1)(n + 1) данное произведение делится нацело на 2 и на 3, а следовательно и на 6, так как является произведением трех последовательных натуральных чисел.
Докажем, что $n(n - 1)(n + 1)((n^2 + 1)^2 - n^2)$ при любом n кратен 7:
при n = 1: 1(1 − 1)(1 + 1) = 0
при n = 6: 6(6 − 1)(6 + 1) = 6 * 5 * 7 кратно 7.
при n = 8: 8(8 − 1)(8 + 1) = 8 * 7 * 9 кратно 7.
при n = 2: $(2^2 + 1)^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 = 3 * 7$ кратно 7;
при n = 3: $(3^2 + 1)^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91 = 13 * 7$ кратно 7;
при n = 4: $(4^2 + 1)^2 - 4^2 = 289 - 16 = 273 = 39 * 7$ кратно 7;
при n = 5: $(5^2 + 1)^2 - 5^2 = 676 - 25 = 651 = 93 * 7$ кратно 7;
при n = 9: $(9^2 + 1)^2 - 9^2 = 6724 - 81 = 6643 = 949 * 7$ кратно 7.
Следовательно при любом натуральном значении n значение выражения $n^7 - n$ одновременно делится нацело на 6 и на 7, а значит и на 42.