Можно ли утверждать, что значение выражения

n^{3} + 2 n

делится нацело на 3 при любом натуральном значении n?

reshalka.com

Алгебре 7 класс Мерзляк. Номер №1207

Пусть n = 3k натуральное число кратное 3, тогда:

(3 k)^{3} + 2 * 3 k = 27 k^{3} + 6 k = 3 (9 k^{3} + 2 k)

делится на 3.
Пусть n = 3k + 1 натуральное число кратное 3, тогда:

(3 k + 1)^{3} + 2 (3 k + 1) = 27 k^{3} + 27 k^{2} + 9 k + 1 + 6 k + 2 = 27 k^{3} + 27 k^{2} + 15 k + 3 = 3 (9 k^{3} + 9 k^{2} + 5 k + 1)

делится на 3.
Пусть n = 3k + 2 натуральное число кратное 3, тогда:

(3 k + 2)^{3} + 2 (3 k + 2) = 27 k^{3} + 54 k^{2} + 36 k + 8 + 6 k + 4 = 27 k^{3} + 54 k^{2} + 42 k + 12 = 3 (9 k^{3} + 18 k^{2} + 14 k + 4)

делится на 3.
Получается можно утверждать, что значение выражения

n^{3} + 2 n

делится нацело на 3 при любом натуральном значении n.

ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир