Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Номер №1207

Можно ли утверждать, что значение выражения
n 3 + 2 n
делится нацело на 3 при любом натуральном значении n?

Решение

Пусть n = 3k натуральное число кратное 3, тогда:
( 3 k ) 3 + 2 3 k = 27 k 3 + 6 k = 3 ( 9 k 3 + 2 k )
делится на 3.
Пусть n = 3k + 1 натуральное число кратное 3, тогда:
( 3 k + 1 ) 3 + 2 ( 3 k + 1 ) = 27 k 3 + 27 k 2 + 9 k + 1 + 6 k + 2 = 27 k 3 + 27 k 2 + 15 k + 3 = 3 ( 9 k 3 + 9 k 2 + 5 k + 1 )
делится на 3.
Пусть n = 3k + 2 натуральное число кратное 3, тогда:
( 3 k + 2 ) 3 + 2 ( 3 k + 2 ) = 27 k 3 + 54 k 2 + 36 k + 8 + 6 k + 4 = 27 k 3 + 54 k 2 + 42 k + 12 = 3 ( 9 k 3 + 18 k 2 + 14 k + 4 )
делится на 3.
Получается можно утверждать, что значение выражения
n 3 + 2 n
делится нацело на 3 при любом натуральном значении n.