Пусть n = 3k натуральное число кратное 3, тогда:
$(3k)^3 + 2 * 3k = 27k^3 + 6k = 3(9k^3 + 2k)$ делится на 3.
Пусть n = 3k + 1 натуральное число кратное 3, тогда:
$(3k + 1)^3 + 2(3k + 1) = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 + 6k + 2 = 27k^3 + 27k^2 + 15k + 3 = 3(9k^3 + 9k^2 + 5k + 1)$ делится на 3.
Пусть n = 3k + 2 натуральное число кратное 3, тогда:
$(3k + 2)^3 + 2(3k + 2) = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 + 6k + 4 = 27k^3 + 54k^2 + 42k + 12 = 3(9k^3 + 18k^2 + 14k + 4)$ делится на 3.
Получается можно утверждать, что значение выражения $n^3 + 2n$ делится нацело на 3 при любом натуральном значении n.