Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения

n^{4} - 1

делится нацело на 5.

reshalka.com

Алгебре 7 класс Мерзляк. Номер №1206

Пусть n = 5k + 1 − натуральное число не кратное 5, тогда:

n^{4} - 1 = ((5 k + 1)^{2} - 1) ((5 k + 1)^{2} + 1) = (25 k^{2} + 10 k + 1 - 1) (25 k^{2} + 10 k + 1 + 1) = (25 k^{2} + 10 k) (25 k^{2} + 10 k + 2) = 5 (5 k^{2} + 2 k) (25 k^{2} + 10 k + 2)

кратно 5.
Пусть n = 5k + 2 − натуральное число не кратное 5, тогда:

n^{4} - 1 = ((5 k + 2)^{2} - 1) ((5 k + 2)^{2} + 1) = (25 k^{2} + 20 k + 4 - 1) (25 k^{2} + 20 k + 4 + 1) = (25 k^{2} + 20 k + 3) (25 k^{2} + 20 k + 5) = 5 (25 k^{2} + 20 k + 3) (5 n^{2} + 4 k + 1)

кратно 5.
Пусть n = 5k + 3 − натуральное число не кратное 5, тогда:

n^{4} - 1 = ((5 k + 3)^{2} - 1) ((5 k + 3)^{2} + 1) = (25 k^{2} + 30 k + 9 - 1) (25 k^{2} + 30 k + 9 + 1) = (25 k^{2} + 30 k + 8) (25 k^{2} + 30 k + 10) = 5 (25 k^{2} + 30 k + 8) (5 k^{2} + 6 k + 2)

кратно 5.
Пусть n = 5k + 4 − натуральное число не кратное 5, тогда:

n^{4} - 1 = ((5 k + 4)^{2} - 1) ((5 k + 4)^{2} + 1) = (25 k^{2} + 40 k + 16 - 1) (25 k^{2} + 40 k + 16 + 1) = (25 k^{2} + 40 k + 15) (25 k^{2} + 40 k + 17) = 5 (5 k^{2} + 8 k + 3) (25 k^{2} + 40 k + 17)

кратно 5.

ГДЗ Алгебра 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир