Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения $n^4 - 1$ делится нацело на 5.
Пусть n = 5k + 1 − натуральное число не кратное 5, тогда:
$n^4 - 1 = ((5k + 1)^2 - 1)((5k + 1)^2 + 1) = (25k^2 + 10k + 1 - 1)(25k^2 + 10k + 1 + 1) = (25k^2 + 10k)(25k^2 + 10k + 2) = 5(5k^2 + 2k)(25k^2 + 10k + 2)$ кратно 5.
Пусть n = 5k + 2 − натуральное число не кратное 5, тогда:
$n^4 - 1 = ((5k + 2)^2 - 1)((5k + 2)^2 + 1) = (25k^2 + 20k + 4 - 1)(25k^2 + 20k + 4 + 1) = (25k^2 + 20k + 3)(25k^2 + 20k + 5) = 5(25k^2 + 20k + 3)(5n^2 + 4k + 1)$ кратно 5.
Пусть n = 5k + 3 − натуральное число не кратное 5, тогда:
$n^4 - 1 = ((5k + 3)^2 - 1)((5k + 3)^2 + 1) = (25k^2 + 30k + 9 - 1)(25k^2 + 30k + 9 + 1) = (25k^2 + 30k + 8)(25k^2 + 30k + 10) = 5(25k^2 + 30k + 8)(5k^2 + 6k + 2)$ кратно 5.
Пусть n = 5k + 4 − натуральное число не кратное 5, тогда:
$n^4 - 1 = ((5k + 4)^2 - 1)((5k + 4)^2 + 1) = (25k^2 + 40k + 16 - 1)(25k^2 + 40k + 16 + 1) = (25k^2 + 40k + 15)(25k^2 + 40k + 17) = 5(5k^2 + 8k + 3)(25k^2 + 40k + 17)$ кратно 5.
Пожауйста, оцените решение
