Математика 7 класс Мерзляк, Полонский, Якир

Учебник по математике 7 класс Мерзляк

авторы: , , .
издательство: Вентана-Граф, 2018 г.

Другие варианты решения

Номер №1206

Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения
n 4 1
делится нацело на 5.

Решение

Пусть n = 5k + 1 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 1 = ( ( 5 k + 1 ) 2 1 ) ( ( 5 k + 1 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 10 k + 1 1 ) ( 25 k 2 + 10 k + 1 + 1 ) = ( 25 k 2 + 10 k ) ( 25 k 2 + 10 k + 2 ) = 5 ( 5 k 2 + 2 k ) ( 25 k 2 + 10 k + 2 )
кратно 5.
Пусть n = 5k + 2 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 1 = ( ( 5 k + 2 ) 2 1 ) ( ( 5 k + 2 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 20 k + 4 1 ) ( 25 k 2 + 20 k + 4 + 1 ) = ( 25 k 2 + 20 k + 3 ) ( 25 k 2 + 20 k + 5 ) = 5 ( 25 k 2 + 20 k + 3 ) ( 5 n 2 + 4 k + 1 )
кратно 5.
Пусть n = 5k + 3 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 1 = ( ( 5 k + 3 ) 2 1 ) ( ( 5 k + 3 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 30 k + 9 1 ) ( 25 k 2 + 30 k + 9 + 1 ) = ( 25 k 2 + 30 k + 8 ) ( 25 k 2 + 30 k + 10 ) = 5 ( 25 k 2 + 30 k + 8 ) ( 5 k 2 + 6 k + 2 )
кратно 5.
Пусть n = 5k + 4 − натуральное число не кратное 5, тогда:
n 4 1 = ( ( 5 k + 4 ) 2 1 ) ( ( 5 k + 4 ) 2 + 1 ) = ( 25 k 2 + 40 k + 16 1 ) ( 25 k 2 + 40 k + 16 + 1 ) = ( 25 k 2 + 40 k + 15 ) ( 25 k 2 + 40 k + 17 ) = 5 ( 5 k 2 + 8 k + 3 ) ( 25 k 2 + 40 k + 17 )
кратно 5.
Другие варианты решения