Пусть x + y = a, xy = b. Докажите, что:
1) $x^2 + y^2 = a^2 - 2b$;
2) $x^3 + y^3 = a^3 - 3ab$;
3) $x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^4$.

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

Алгебре 7 класс Мерзляк. Номер №1202

Решение 1

$x^2 + y^2 = a^2 - 2b$
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$
$x^2 + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 2xy$
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2$

Решение 2

$x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)$
$x^3 + y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - 3x^2y - 3xy^2$
$x^3 + y^3 = x^3 + y^3$

Решение 3

$x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$
$x^4 + y^4 = a^4 - 4a^2b + 2b^2$
$x^4 + y^4 = a^2(a^2 - 4b) + 2b^2$
$x^4 + y^4 = (x + y)^2((x + y)^2 - 4xy) + 2x^2y^2$
$x^4 + y^4 = (x + y)^2(x^2 + 2xy + y^2 - 4xy) + 2x^2y^2$
$x^4 + y^4 = (x^2 + 2xy + y^2)(x^2 - 2xy + y^2) + 2x^2y^2$
$x^4 + y^4 = x^4 + 2x^3y + x^2y^2 - 2x^3y - 4x^2y^2 + 2xy^3 + x^2y^2 - 2xy^3 + y^4 + 2x^2y^2$
$x^4 + y^4 = x^4 + (2x^3y - 2x^3y) + (x^2y^2 - 4x^2y^2 + x^2y^2 + 2x^2y^2) + (2xy^3 - 2xy^3) + y^4$
$x^4 + y^4 = x^4 + 0 + 0 + 0 + y^4$
$x^4 + y^4 = x^4 + y^4$