\begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{7}{y} = 6 | * xy, &\\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 46 | * xy; & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} y - 7x = 6xy | * (-2), &\\ 2y + 3x = 46xy; & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} -2y + 14x = -12xy, &\\ 2y + 3x = 46xy; & \end{cases} \end{equation*}
−2y + 14x + 2y + 3x = −12xy + 46xy
17x = 34xy
17x − 34xy = 0
17x(1 − 2y) = 0
17x = 0
x ≠ 0, так как при x = 0 знаменатели членов уравнений будут равны нулю, что невозможно.
1 − 2y = 0
−2y = −1
y = −1 : −2
y = 0,5;
2 * 0,5 + 3x = 46x * 0,5
1 + 3x = 23x
23x − 3x = 1
20x = 1
x = 1 : 20
x = 0,05.
Ответ: (0,05;0,5)

\begin{equation*} \begin{cases} \frac{9}{x + 4y} - \frac{6}{5x - y} = -2 | * (x + 4y)(5x - y), &\\ \frac{3}{x + 4y} + \frac{18}{5x - y} = 1 | * (x + 4y)(5x - y). & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} 9(5x - y) - 6(x + 4y) = -2(x + 4y)(5x - y), &\\ 3(5x - y) + 18(x + 4y) = (x + 4y)(5x - y). & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} 45x - 9y - 6x - 24y = -2(5x^2 + 20xy - xy - 4y^2), &\\ 15x - 3y + 18x + 72y = 5x^2 + 20xy - xy - 4y^2. & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} 39x - 33y = -2(5x^2 + 19xy - 4y^2), &\\ 33x + 69y = 5x^2 + 19xy - 4y^2. & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} 39x - 33y = -10x^2 - 38xy + 8y^2, &\\ 33x + 69y = 5x^2 + 19xy - 4y^2. & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} 39x - 33y + 10x^2 + 38xy - 8y^2 = 0, &\\ 33x + 69y - 5x^2 - 19xy + 4y^2 = 0 | * 2. & \end{cases} \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{cases} 39x - 33y + 10x^2 + 38xy - 8y^2 = 0, &\\ 66x + 138y - 10x^2 - 38xy + 8y^2 = 0. & \end{cases} \end{equation*}
39x − 33y + 10x^2 + 38xy − 8y^2 + 66x + 138y − 10x^2 − 38xy + 8y^2 = 0
39x − 33y + 66x + 138y = 0
105x + 105y = 0
105x = −105y
x = −y
33 * (−y) + 69y − 5 * (−y)^2 − 19 * (−y) * y + 4y^2 = 0
−33y + 69y − 5y^2 + 19y^2 + 4y^2 = 0
18y^2 + 36y = 0
18y(y + 2) = 0
18y = 0
$y_1 = 0$
x = −y
x = 0, пара чисел (0;0) не может быть решением данной систему уравнений, так как при данных значениях знаменатели членов уравнений будут равны нулю, что невозможно;
y + 2 = 0
$y_2 = -2$.
x = −y
x = −(−2)
x = 2.
Ответ: (2;−2).