Пусть n − натуральное число не кратное 3, тогда при делении на 3 получаем остаток 1 или 2.
Если остаток равен 1, то:
$(3n + 1)^2 - 1 = 9n^2 + 6n + 1 - 1 = 9n^2 + 6n = 3(3n^2 + 2n)$ − выражение кратно 3, так как один из множителей равен 3.
Если остаток равен 2, то:
$(3n + 2)^2 - 1 = 9n^2 + 12n + 4 - 1 = 9n^2 + 12n + 3 = 3(3n^2 + 6n + 1)$ − выражение кратно 3, так как один из множителей равен 3.
Значит разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.