Пусть:
n − 2 − первое число, тогда:
n − 1 − втрое число;
n − третье число;
n + 1 − четвертое число;
n + 2 − пятое число.
Тогда по условию:

Получили выражение с множителями 5 и . Чтобы выражение было квадратом натурального числа необходимо чтобы было кратно 5, то есть должно оканчиваться на 0 или 5.
Тогда:



 



Так как квадрат натурального числа не может равняться 3 или 8, значит сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.