Пусть:
n − 2 − первое число, тогда:
n − 1 − втрое число;
n − третье число;
n + 1 − четвертое число;
n + 2 − пятое число.
Тогда по условию:
$(n - 2)^2 + (n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = n^2 - 4n + 4 + n^2 - 2n + 1 + n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2)$
Получили выражение с множителями 5 и $(n^2 + 2)$. Чтобы выражение $5(n^2 + 2)$ было квадратом натурального числа необходимо чтобы $(n^2 + 2)$ было кратно 5, то есть должно оканчиваться на 0 или 5.
Тогда:
$n^2 + 2 = 5$
$n^2 = 5 - 2$
$n^2 = 3$
 
$n^2 + 2 = 10$
$n^2 = 10 - 2$
$n^2 = 8$
Так как квадрат натурального числа не может равняться 3 или 8, значит сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.