Чтобы система не имела решений необходимо, чтобы угловые коэффициенты прямых были равны, а точки пересечения графиков с осью y не совпадали.
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2 |*10 &\\ 5x + 2y = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{2}x + \frac{1}{5}y = 2 &\\ 5x + 2y = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 5x + 2y = 20 &\\ 5x + 2y = c & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} 2y = -5x + 20 &\\ 2y = -5x + c & \end{cases} \end{equation*}$
Следовательно при c ≠ 20 система уравнений не имеет решений.
Ответ: c ≠ 20