Докажите, что:
а) разность квадратов последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;
б) разность квадратов двух последовательных четных чисел равна удвоенной сумме этих чисел.
Проиллюстрируйте доказанные утверждения конкретными примерами.
Решение а
Пусть:
x и (x + 1) − два последовательных натуральных числа, тогда по условию:
(x + 1 − x)(x + 1 + x) = x + x + 1
1 * (
2x + 1) =
2x + 1
2x + 1 =
2x + 1
утверждение доказано
Например:
Пусть
x = 3, тогда:
x + 1 =
3 +
1 =
4.
16 −
9 =
7
7 =
7 − верно.
Решение б
Пусть:
2x и 2x + 2 − два последовательных четных числа, тогда по условию:
(
2x + 2 −
2x)(2x + 2 +
2x) = 2(
2x + 2x + 2)
2(
2x + 2x + 2) =
2(
2x + 2x + 2)
утверждение доказано
Например:
Пусть
2x = 2, тогда:
2x + 2 =
2 +
2 =
4.
16 −
4 =
4 +
8
12 =
12 − верно
