Запишите в виде равенства утверждение:
а) 8 так относится к 7, как 4 относится к 3,5;
б) 0,6 так относится к $\frac{2}{3}$, как 21 относится к $23\frac{1}{3}$;
в) отношение $\frac{2}{9}$ к 0,2 равно отношению 17 к 15,3.
Проверьте, являются ли полученные равенства пропорциями.

Для решения этой задачи, нам нужно вспомнить, что такое пропорция и как её проверить.

Теория:

Отношение − это частное от деления двух чисел. Например, отношение числа $a$ к числу $b$ записывается как $a:b$ или $\frac{a}{b}$.
Пропорция − это равенство двух отношений. В общем виде пропорция записывается как $a:b = c:d$ или $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Читается это так: "$a$ относится к $b$, как $c$ относится к $d$".
Основное свойство пропорции: В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. То есть, если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $a \cdot d = b \cdot c$. Это свойство используется для проверки, является ли данное равенство пропорцией.

Теперь решим задачу по пунктам:
а) 8 так относится к 7, как 4 относится к 3,5.

Запишем это в виде равенства:
$\frac{8}{7} = \frac{4}{3,5}$

Чтобы проверить, является ли это пропорцией, используем основное свойство пропорции:
$8 \cdot 3,5 = 7 \cdot 4$
$28 = 28$

Так как равенство выполняется, то данное равенство является пропорцией.

б) 0,6 так относится к $\frac{2}{3}$, как 21 относится к $23\frac{1}{3}$.

Запишем это в виде равенства:
$\frac{0,6}{\frac{2}{3}} = \frac{21}{23\frac{1}{3}}$

Прежде чем проверять, переведем десятичную дробь в обыкновенную и смешанное число в неправильную дробь:
0,6 = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$

$23\frac{1}{3}$ = $\frac{23 \cdot 3 + 1}{3}$ = $\frac{70}{3}$

Теперь наше равенство выглядит так:
$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{3}} = \frac{21}{\frac{70}{3}}$

Разделим дробь на дробь. Для этого первую дробь умножим на дробь, обратную второй:
$\frac{3}{5} : \frac{2}{3} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{10}$

$21 : \frac{70}{3} = 21 \cdot \frac{3}{70} = \frac{21 \cdot 3}{70} = \frac{3 \cdot 3}{10} = \frac{9}{10}$

Таким образом, $\frac{9}{10} = \frac{9}{10}$.

Так как равенство выполняется, то данное равенство является пропорцией.

в) отношение $\frac{2}{9}$ к 0,2 равно отношению 17 к 15,3.

Запишем это в виде равенства:
$\frac{\frac{2}{9}}{0,2} = \frac{17}{15,3}$

Прежде чем проверять, переведем десятичную дробь в обыкновенную:
0,2 = $\frac{2}{10}$ = $\frac{1}{5}$

Теперь наше равенство выглядит так:
$\frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{5}} = \frac{17}{15,3}$

Разделим дробь на дробь. Для этого первую дробь умножим на дробь, обратную второй:
$\frac{2}{9} : \frac{1}{5} = \frac{2}{9} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{9}$

Теперь проверим, является ли это пропорцией:
$\frac{10}{9} = \frac{17}{15,3}$

Используем основное свойство пропорции:
$10 \cdot 15,3 = 9 \cdot 17$
$153 = 153$

Так как равенство выполняется, то данное равенство является пропорцией.

Ответ:
а) $\frac{8}{7} = \frac{4}{3,5}$ − пропорция.
б) $\frac{0,6}{\frac{2}{3}} = \frac{21}{23\frac{1}{3}}$ − пропорция.
в) $\frac{\frac{2}{9}}{0,2} = \frac{17}{15,3}$ − пропорция.