Верно ли?
а) Произведение двух взаимно обратных отношений равно 1.
б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1.
в) Отношение двух чисел уменьшится, если каждое из них разделить на 5.
г) Отношение a : b показывает какую часть число a составляет от числа b.

Теория

1. Взаимно обратные числа (отношения)

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, числа $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ взаимно обратные, потому что $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$.
Если дано отношение $\frac{a}{b}$, то взаимно обратным к нему будет отношение $\frac{b}{a}$.

2. Отношение двух чисел

Отношение двух чисел $a$ и $b$ показывает, во сколько раз число $a$ больше числа $b$ (если $a > b$) или какую часть число $a$ составляет от числа $b$ (если $a < b$). Отношение записывается как $a : b$ или $\frac{a}{b}$.

3. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то значение дроби не изменится. То есть, $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$ и $\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}$, где $k \neq 0$.

Решение с объяснениями

а) Произведение двух взаимно обратных отношений равно 1.

Утверждение: Верно.
Объяснение: Пусть дано отношение $\frac{a}{b}$. Взаимно обратным к нему будет отношение $\frac{b}{a}$. Их произведение:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = \frac{ab}{ab} = 1$

Таким образом, произведение двух взаимно обратных отношений всегда равно 1.

б) Частное двух взаимно обратных отношений равно 1.

Утверждение: Неверно.
Объяснение: Разделим отношение $\frac{a}{b}$ на взаимно обратное отношение $\frac{b}{a}$:

$\frac{a}{b} : \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} = \frac{a \cdot a}{b \cdot b} = \frac{a^2}{b^2} = (\frac{a}{b})^2$

Частное двух взаимно обратных отношений равно квадрату исходного отношения, что не всегда равно 1 (это будет равно 1, только если $a = b$).

в) Отношение двух чисел уменьшится, если каждое из них разделить на 5.

Утверждение: Неверно.
Объяснение: Пусть дано отношение $\frac{a}{b}$. Разделим каждое из чисел $a$ и $b$ на 5:

$\frac{a : 5}{b : 5} = \frac{\frac{a}{5}}{\frac{b}{5}} = \frac{a}{5} \cdot \frac{5}{b} = \frac{a \cdot 5}{5 \cdot b} = \frac{5a}{5b}$

По основному свойству дроби, мы можем сократить дробь на 5:
$\frac{5a}{5b} = \frac{a}{b}$

Таким образом, отношение не изменится.

г) Отношение $a : b$ показывает, какую часть число $a$ составляет от числа $b$.

Утверждение: Верно.
Объяснение: Отношение $a : b$ можно записать в виде дроби $\frac{a}{b}$. Эта дробь показывает, какую часть число $a$ составляет от числа $b$. Например, если $a = 3$ и $b = 5$, то отношение $3 : 5$ или $\frac{3}{5}$ показывает, что число $a$ (равное 3) составляет $\frac{3}{5}$ от числа $b$ (равного 5).