Напольной плиткой покрыто $\frac{2}{5}$ площади квартиры. На пол на кухне ушло 17,5 $м^2$ плитки, что составило $\frac{5}{9}$ всей напольной плитки. Какова площадь квартиры?

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания об обыкновенных дробях и умение выполнять действия с ними, а также понимание, как найти часть от целого и целое по его части.

Теория:

1. Обыкновенные дроби: Дробь вида $\frac{a}{b}$, где a − числитель, b − знаменатель.
2. Нахождение части от целого: Чтобы найти часть от целого, нужно умножить целое на дробь, выражающую эту часть. Например, чтобы найти $\frac{2}{5}$ от числа 20, нужно 20 умножить на $\frac{2}{5}$.
3. Нахождение целого по его части: Если известна часть от целого и дробь, выражающая эту часть, то чтобы найти целое, нужно разделить известную часть на эту дробь. Например, если $\frac{2}{5}$ от некоторого числа равно 10, то чтобы найти это число, нужно 10 разделить на $\frac{2}{5}$.
4. Деление на дробь: Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную данной. Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя. Например, чтобы разделить 5 на $\frac{2}{3}$, нужно 5 умножить на $\frac{3}{2}$.
5. Смешанные числа: Число, состоящее из целой и дробной части, например $31\frac{1}{2}$. Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, прибавить к числителю дробной части и записать результат в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Например, $31\frac{1}{2} = \frac{31*2 + 1}{2} = \frac{63}{2}$.

Решение:

1. Найдём, сколько квадратных метров составляет вся напольная плитка. Из условия задачи известно, что 17,5 $м^2$ плитки составляют $\frac{5}{9}$ всей плитки. Чтобы найти всю площадь плитки, нужно разделить 17,5 на $\frac{5}{9}$.

$17,5 : \frac{5}{9} = 17\frac{5}{10} : \frac{5}{9} = 17\frac{1}{2} : \frac{5}{9}$

Переведём смешанное число $17\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:
$17\frac{1}{2} = \frac{17*2 + 1}{2} = \frac{35}{2}$

Теперь разделим дробь $\frac{35}{2}$ на $\frac{5}{9}$, то есть умножим $\frac{35}{2}$ на $\frac{9}{5}$:
$\frac{35}{2} * \frac{9}{5} = \frac{35 * 9}{2 * 5} = \frac{7 * 5 * 9}{2 * 5} = \frac{7 * 9}{2} = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2}$ ($м^2$) − площадь всей напольной плитки.

2. Теперь, когда мы знаем площадь всей напольной плитки, а также знаем, что плитка покрывает $\frac{2}{5}$ площади квартиры, мы можем найти площадь всей квартиры. Для этого нужно площадь плитки ($31\frac{1}{2} м^2$) разделить на $\frac{2}{5}$.

$31\frac{1}{2} : \frac{2}{5} = \frac{63}{2} : \frac{2}{5} = \frac{63}{2} * \frac{5}{2} = \frac{63 * 5}{2 * 2} = \frac{315}{4} = 78\frac{3}{4}$ ($м^2$) − площадь квартиры.

Ответ: Площадь квартиры составляет $78\frac{3}{4} м^2$.