Выполните вычисления в цепочке.

Теория для решения задачи

1. Умножение обыкновенных дробей: Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно умножить их числители и знаменатели соответственно.
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$

2. Деление обыкновенных дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a * d}{b * c}$

3. Сложение и вычитание обыкновенных дробей: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сложить или вычесть числители.
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$
$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$

4. Приведение к общему знаменателю: Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, а затем умножить числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатель стал равен НОК.
5. Перевод смешанной дроби в неправильную: Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно умножить целую часть на знаменатель дробной части, прибавить числитель дробной части и записать результат в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.
$a\frac{b}{c} = \frac{a * c + b}{c}$

6. Перевод неправильной дроби в смешанную: Чтобы перевести неправильную дробь в смешанную, нужно разделить числитель на знаменатель. Частное будет целой частью смешанной дроби, остаток будет числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.
$\frac{d}{c} = a\frac{b}{c}$, где $d = a * c + b$

Решение

а)
1) $\frac{1}{3} * 2 = \frac{1 * 2}{3} = \frac{2}{3}$
2) $\frac{2}{3} : \frac{1}{2} = \frac{2}{3} * \frac{2}{1} = \frac{2 * 2}{3 * 1} = \frac{4}{3}$

Представим дробь $\frac{4}{3}$ в виде смешанного числа:
$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

3) $1\frac{1}{3} - 1\frac{1}{5}$

Приведём дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 5 равно 15.
$\frac{1}{3} = \frac{1 * 5}{3 * 5} = \frac{5}{15}$
$\frac{1}{5} = \frac{1 * 3}{5 * 3} = \frac{3}{15}$

Тогда:
$1\frac{1}{3} - 1\frac{1}{5} = 1\frac{5}{15} - 1\frac{3}{15} = (1 - 1) + (\frac{5}{15} - \frac{3}{15}) = 0 + \frac{5 - 3}{15} = \frac{2}{15}$

б)
1) $6 : 9 = \frac{6}{9}$

Сократим дробь $\frac{6}{9}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:
$\frac{6}{9} = \frac{6 : 3}{9 : 3} = \frac{2}{3}$

2) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$

Приведём дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{1}{4}$ к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 4 равно 12.

$\frac{2}{3} = \frac{2 * 4}{3 * 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 * 3}{4 * 3} = \frac{3}{12}$

Тогда:
$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8 + 3}{12} = \frac{11}{12}$

3) $\frac{11}{12} * \frac{12}{11} = \frac{11 * 12}{12 * 11} = \frac{132}{132} = 1$

4) $1 : 1\frac{4}{7}$

Сначала переведём смешанную дробь $1\frac{4}{7}$ в неправильную:
$1\frac{4}{7} = \frac{1 * 7 + 4}{7} = \frac{7 + 4}{7} = \frac{11}{7}$

Тогда:
$1 : 1\frac{4}{7} = 1 : \frac{11}{7} = 1 * \frac{7}{11} = \frac{7}{11}$

5) $\frac{7}{11} * 9\frac{3}{7}$
Сначала переведём смешанную дробь $9\frac{3}{7}$ в неправильную:

$9\frac{3}{7} = \frac{9 * 7 + 3}{7} = \frac{63 + 3}{7} = \frac{66}{7}$

Тогда:
$\frac{7}{11} * 9\frac{3}{7} = \frac{7}{11} * \frac{66}{7} = \frac{7 * 66}{11 * 7} = \frac{462}{77}$

Сократим дробь $\frac{462}{77}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 77:
$\frac{462}{77} = \frac{462 : 77}{77 : 77} = \frac{6}{1} = 6$

Ответ:
a) $\frac{2}{15}$
б) 6