Три токаря сделали несколько деталей. Первый сделал четверть всех деталей, второй − треть всех деталей, третий − оставшиеся. Во сколько раз третий токарь сделал больше деталей, чем первый? Какую часть составляют детали, сделанные вторым токарем, от деталей, сделанных третьим токарем?

Теория:

Для решения этой задачи нам понадобятся знания об обыкновенных дробях и действиях с ними. Вспомним основные моменты:

1. Что такое дробь? Дробь − это способ записи числа, которое представляет собой часть целого. Обыкновенная дробь записывается в виде $\frac{a}{b}$, где a − числитель, а b − знаменатель. Числитель показывает, сколько частей взято, а знаменатель − на сколько частей разделено целое.
2. Сложение и вычитание дробей: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю.
3. Умножение дробей: Чтобы умножить дроби, нужно умножить их числители и знаменатели: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$
4. Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$
5. Нахождение части от целого: Чтобы найти часть от целого, нужно умножить целое на дробь, выражающую эту часть.
6. Приведение дроби к общему знаменателю: Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, а затем умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить этот общий знаменатель.

Решение:

Пусть вся работа (все детали) – это 1 (целое).

1. Сколько деталей сделал первый токарь?

$1 * \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ (деталей) − сделал первый токарь.
Пояснение: Первый токарь сделал четверть всех деталей, значит, мы умножаем общее количество деталей (1) на $\frac{1}{4}$.

2. Сколько деталей сделал второй токарь?

$1 * \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ (деталей) − сделал второй токарь.
Пояснение: Второй токарь сделал треть всех деталей, значит, мы умножаем общее количество деталей (1) на $\frac{1}{3}$.

3. Какую часть деталей сделали первый и второй токари вместе?

$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$ (деталей) − сделали первый и второй токари вместе.
Пояснение: Чтобы сложить дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 – это 12. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 3, а числитель и знаменатель второй дроби на 4. Затем складываем дроби с одинаковым знаменателем.

4. Какую часть деталей сделал третий токарь?

$1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ (деталей) − сделал третий токарь.
Пояснение: Чтобы найти, сколько деталей сделал третий токарь, нужно из общего количества деталей (1) вычесть количество деталей, сделанных первым и вторым токарями ($\frac{7}{12}$).

5. Во сколько раз третий токарь сделал больше деталей, чем первый?

$\frac{5}{12} : \frac{1}{4} = \frac{5}{12} * \frac{4}{1} = \frac{5 * 4}{12 * 1} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ (раза) − третий токарь сделал больше деталей, чем первый.
Пояснение: Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, нужно большее число разделить на меньшее. Делим количество деталей, сделанных третьим токарем ($\frac{5}{12}$), на количество деталей, сделанных первым токарем ($\frac{1}{4}$).

6. Какую часть составляют детали, сделанные вторым токарем, от деталей, сделанных третьим токарем?

$\frac{1}{3} : \frac{5}{12} = \frac{1}{3} * \frac{12}{5} = \frac{1 * 12}{3 * 5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ − составляют детали, сделанные вторым токарем, от деталей, сделанных третьим токарем.
Пояснение: Чтобы узнать, какую часть одно число составляет от другого, нужно первое число разделить на второе. Делим количество деталей, сделанных вторым токарем ($\frac{1}{3}$), на количество деталей, сделанных третьим токарем ($\frac{5}{12}$).

Ответ: В $1\frac{2}{3}$ раза; $\frac{4}{5}$.