Две проходческие бригады строили тоннель, двигаясь навстречу друг другу. Первая бригада построила $\frac{5}{9}$ всего тоннеля, а вторая − остальную часть. Во сколько раз часть тоннеля, построенная первой бригадой, больше части, построенной второй бригадой?

Для решения этой задачи, нам нужно вспомнить несколько важных моментов об обыкновенных дробях и действиях с ними.

Теория:

1. Что такое обыкновенная дробь? Обыкновенная дробь − это число, представляющее собой часть целого. Она записывается в виде $\frac{a}{b}$, где:

$a$ − числитель (показывает, сколько частей взято)
$b$ − знаменатель (показывает, на сколько равных частей разделено целое)

2. Действия с обыкновенными дробями:

Вычитание дробей: Чтобы вычесть одну дробь из другой, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю (найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и привести каждую дробь к этому знаменателю). Затем вычитаем числители, а знаменатель оставляем прежним.

Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя.

Приведение к общему знаменателю: Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ), который является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей этих дробей. Затем нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатель стал равен НОЗ.

Решение:

1. Определение части тоннеля, построенной второй бригадой:

Весь тоннель принимаем за 1 (или $\frac{9}{9}$). Первая бригада построила $\frac{5}{9}$ тоннеля. Чтобы найти, какую часть тоннеля построила вторая бригада, нужно из всего тоннеля вычесть часть, построенную первой бригадой:
$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9}$

Итак, вторая бригада построила $\frac{4}{9}$ тоннеля.

2. Определение, во сколько раз часть тоннеля, построенная первой бригадой, больше части, построенной второй бригадой:

Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше другой, нужно большую величину разделить на меньшую. В данном случае, нужно разделить часть тоннеля, построенную первой бригадой, на часть, построенную второй бригадой:
$\frac{5}{9} : \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{5 \cdot 9}{9 \cdot 4} = \frac{5 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 4} = \frac{5}{4}$

Теперь превратим неправильную дробь $\frac{5}{4}$ в смешанное число, чтобы было легче понять ответ:
$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: Часть тоннеля, построенная первой бригадой, в $1\frac{1}{4}$ раза больше части, построенной второй бригадой.