Известному писателю Л.Н.Толстому очень нравилась следующая задача.
Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?
Пусть:
x (косцов) − было в артели;
y (площадь) − которую один косец косит за день.
Тогда:
$x * \frac{1}{2}y = \frac{1}{2}xy$ − большого луга скосила артель за первую половину дня;
$\frac{1}{2}x$ (косцов) − составила половина косцов во второй половине дня;
$\frac{1}{2}x * \frac{1}{2}y = \frac{1}{4}xy$ − большого луга скосили косцы во второй половине дня;
$\frac{1}{2}xy^{(2} + \frac{1}{4}xy = \frac{2}{4}xy + \frac{1}{4}xy = \frac{3}{4}xy$ − площадь большого луга;
$\frac{1}{2}x * \frac{1}{2}y = \frac{1}{4}xy$ − малого луга скосили косцы во второй половине дня;
$\frac{1}{4}xy + y = y(\frac{1}{4}x + 1)$ − площадь малого луга.
Зная, что площадь большого луга в 2 раза больше площади малого луга, можно составить уравнение:
$2y(\frac{1}{4}x + 1) = \frac{3}{4}xy$
$\frac{1}{4}x + 1 = \frac{3}{4}xy : 2y$
$\frac{1}{4}x + 1 = \frac{3}{4}xy * \frac{1}{2y}$
$\frac{1}{4}x + 1 = \frac{3y}{8y}x$
$\frac{1}{4}x + 1 = \frac{3}{8}x$
$\frac{3}{8}x - \frac{1}{4}x^{(2} = 1$
$\frac{3}{8}x - \frac{2}{8}x = 1$
$\frac{1}{8}x = 1$
$x = 1 : \frac{1}{8}$
x = 1 * 8
x = 8 (косцов) − было в артели.
Ответ: 8 косцов
Теория для решения задачи
1. Работа и время:
Если у нас есть несколько работников, выполняющих одинаковую работу, то общее количество работы равно количеству работников, умноженному на время, которое они работали, и на объем работы, который каждый из них выполняет за единицу времени.
2. Обыкновенные дроби:
При сложении или вычитании дробей с одинаковыми знаменателями, мы складываем или вычитаем их числители, а знаменатель оставляем прежним: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.
При умножении дробей мы умножаем числители и знаменатели: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$.
При делении дробей мы умножаем первую дробь на перевернутую вторую дробь: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$.
3. Уравнения:
Чтобы решить уравнение, нужно найти значение неизвестной переменной, при котором уравнение становится верным.
Мы можем выполнять одинаковые операции с обеими частями уравнения (например, умножать или делить на одно и то же число, прибавлять или вычитать одно и то же число), чтобы упростить его и изолировать неизвестную переменную.
Решение задачи
Пусть:
x – количество косцов в артели.
y – площадь, которую один косец скашивает за один день.
Тогда:
1. Большой луг:
Артель косила большой луг половину дня. Значит, они скосили $\frac{1}{2} * x * y = \frac{1}{2}xy$ площади большого луга.
Половина артели, то есть $\frac{1}{2}x$ косцов, косила большой луг вторую половину дня. Они скосили $\frac{1}{2} * x * \frac{1}{2} * y = \frac{1}{4}xy$ площади большого луга.
Вместе они скосили $\frac{1}{2}xy + \frac{1}{4}xy = \frac{2}{4}xy + \frac{1}{4}xy = \frac{3}{4}xy$ – это площадь большого луга.
2. Малый луг:
Вторая половина артели, то есть $\frac{1}{2}x$ косцов, косила малый луг половину дня. Они скосили $\frac{1}{2} * x * \frac{1}{2} * y = \frac{1}{4}xy$ площади малого луга.
Остался участок, который один косец скосил за один день, то есть y.
Значит, площадь малого луга равна $\frac{1}{4}xy + y$.
3. Составляем уравнение:
Площадь большого луга в два раза больше площади малого луга. Значит, $2 * (\frac{1}{4}xy + y) = \frac{3}{4}xy$.
4. Решаем уравнение:
$2 * (\frac{1}{4}xy + y) = \frac{3}{4}xy$
$\frac{1}{2}xy + 2y = \frac{3}{4}xy$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
$4 * (\frac{1}{2}xy + 2y) = 4 * \frac{3}{4}xy$
$2xy + 8y = 3xy$
Вычтем $2xy$ из обеих частей уравнения:
$2xy + 8y - 2xy = 3xy - 2xy$
$8y = xy$
Разделим обе части уравнения на y (так как y не равно нулю):
$\frac{8y}{y} = \frac{xy}{y}$
$8 = x$
Ответ:
В артели было 8 косцов.
Пожалуйста, оцените решение
vsebot.ru - Твоя нейросеть на базе СhatGPT, Gemini и др. Бесплатно навсегда!
Записывай домашние задания с нашим удобным телеграм ботом!.
Считаю калории по фото за 3 секунды 📸. Кидай фото тарелки — я определю состав и вес