Найдите значение выражения:
а) $\frac{4}{9} * \frac{63}{64} * \frac{2}{7}$;
б) $(\frac{1}{2})^2 : \frac{5}{6} : \frac{7}{15}$;
в) $(1 - \frac{1}{3}) : (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$.

Теория

1. Умножение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и знаменатели:

$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$

Иногда перед умножением можно сократить общие множители в числителе и знаменателе, чтобы упростить вычисления.

2. Деление дробей: Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a * d}{b * c}$

Здесь тоже можно сокращать общие множители.

3. Возведение дроби в степень: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

4. Сложение и вычитание дробей: Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить или вычесть числители:

$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a * d}{b * d} \pm \frac{c * b}{b * d} = \frac{a * d \pm c * b}{b * d}$

Решение

а) $\frac{4}{9} * \frac{63}{64} * \frac{2}{7}$

Сначала сократим дроби:

$\frac{\bcancel{4}^{1}}{9} * \frac{63}{\bcancel{64}_{16}} * \frac{2}{7} = \frac{1}{9} * \frac{63}{16} * \frac{2}{7}$

$\frac{1}{\bcancel{9}^{1}} * \frac{\bcancel{63}^{7}}{16} * \frac{2}{7} = \frac{1}{1} * \frac{7}{16} * \frac{2}{7}$

$\frac{1}{1} * \frac{\bcancel{7}^{1}}{16} * \frac{2}{\bcancel{7}_{1}} = \frac{1}{1} * \frac{1}{16} * \frac{2}{1}$

$\frac{1}{1} * \frac{1}{\bcancel{16}^{8}} * \frac{\bcancel{2}^{1}}{1} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

б) $(\frac{1}{2})^2 : \frac{5}{6} : \frac{7}{15}$

Сначала возведем дробь в квадрат:

$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$

Теперь выполним деление, заменяя его умножением на перевернутые дроби:

$\frac{1}{4} : \frac{5}{6} : \frac{7}{15} = \frac{1}{4} * \frac{6}{5} * \frac{15}{7}$

Сократим дроби:

$\frac{1}{\bcancel{4}^{2}} * \frac{\bcancel{6}^{3}}{5} * \frac{15}{7} = \frac{1}{2} * \frac{3}{5} * \frac{15}{7}$

$\frac{1}{2} * \frac{3}{\bcancel{5}^{1}} * \frac{\bcancel{15}^{3}}{7} = \frac{1}{2} * \frac{3}{1} * \frac{3}{7}$

Умножим:

$\frac{1 * 3 * 3}{2 * 1 * 7} = \frac{9}{14}$

Ответ: $\frac{9}{14}$

в) $(1 - \frac{1}{3}) : (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$

Теперь выполним деление:

$\frac{2}{3} : \frac{1}{12} = \frac{2}{3} * \frac{12}{1}$

Сократим дроби:

$\frac{2}{\bcancel{3}^{1}} * \frac{\bcancel{12}^{4}}{1} = \frac{2}{1} * \frac{4}{1}$

Умножим:

$\frac{2 * 4}{1 * 1} = \frac{8}{1} = 8$

Ответ: 8