Вычислите:
а) $(\frac{7}{30} + \frac{1}{2} + \frac{4}{15}) : (\frac{49}{50} - \frac{14}{25} - \frac{2}{5})$;
б) $39 : (\frac{3}{8} + \frac{1}{6}) + (\frac{3}{10})^2 * (\frac{2}{3} - \frac{7}{18})$.

Теория:

1. Сложение и вычитание дробей:

• Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$
• Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель − это число, которое делится на оба знаменателя. Обычно находят наименьший общий знаменатель (НОЗ). Затем нужно умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить общий знаменатель.

2. Умножение дробей:

• Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и умножить знаменатели: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$
• Перед умножением можно сократить дроби, если числитель и знаменатель имеют общий делитель.

3. Деление дробей:

• Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$

4. Возведение дроби в степень:

• Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

5. Порядок действий:

• Сначала выполняются действия в скобках.
• Затем выполняются действия возведения в степень.
• Затем выполняются действия умножения и деления слева направо.
• В конце выполняются действия сложения и вычитания слева направо.

Теперь решим примеры:

а) $(\frac{7}{30} + \frac{1}{2} + \frac{4}{15}) : (\frac{49}{50} - \frac{14}{25} - \frac{2}{5})$

1. Сначала решим выражение в первых скобках. Нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 30, 2 и 15 − это 30.

• $\frac{1}{2} = \frac{1 * 15}{2 * 15} = \frac{15}{30}$
• $\frac{4}{15} = \frac{4 * 2}{15 * 2} = \frac{8}{30}$
• Теперь сложим дроби: $\frac{7}{30} + \frac{15}{30} + \frac{8}{30} = \frac{7 + 15 + 8}{30} = \frac{30}{30} = 1$

2. Теперь решим выражение во вторых скобках. Нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 50, 25 и 5 − это 50.

• $\frac{14}{25} = \frac{14 * 2}{25 * 2} = \frac{28}{50}$
• $\frac{2}{5} = \frac{2 * 10}{5 * 10} = \frac{20}{50}$
• Теперь вычтем дроби: $\frac{49}{50} - \frac{28}{50} - \frac{20}{50} = \frac{49 - 28 - 20}{50} = \frac{1}{50}$

3. Теперь выполним деление:
$1 : \frac{1}{50} = 1 * \frac{50}{1} = 50$

Ответ: 50

б) $39 : (\frac{3}{8} + \frac{1}{6}) + (\frac{3}{10})^2 * (\frac{2}{3} - \frac{7}{18})$

1. Сначала решим выражение в первых скобках. Общий знаменатель для 8 и 6 − это 24.

• $\frac{3}{8} = \frac{3 * 3}{8 * 3} = \frac{9}{24}$
• $\frac{1}{6} = \frac{1 * 4}{6 * 4} = \frac{4}{24}$
• Сложим дроби: $\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{9 + 4}{24} = \frac{13}{24}$

2. Теперь решим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель для 3 и 18 − это 18.

• $\frac{2}{3} = \frac{2 * 6}{3 * 6} = \frac{12}{18}$
• Вычтем дроби: $\frac{12}{18} - \frac{7}{18} = \frac{12 - 7}{18} = \frac{5}{18}$

3. Возведем дробь в степень:
$(\frac{3}{10})^2 = \frac{3^2}{10^2} = \frac{9}{100}$

4. Выполним умножение:

$\frac{9}{100} * \frac{5}{18} = \frac{9 * 5}{100 * 18} = \frac{45}{1800}$. Сократим дробь на 45: $\frac{45:45}{1800:45} = \frac{1}{40}$

5. Выполним деление:
$39 : \frac{13}{24} = 39 * \frac{24}{13} = \frac{39 * 24}{13} = \frac{936}{13}$. Сократим 39 и 13 на 13: $\frac{39}{13} * 24 = 3 * 24 = 72$

6. Выполним сложение:
$72 + \frac{1}{40} = 72\frac{1}{40}$

Ответ: $72\frac{1}{40}$