Сравните значения выражения $1\frac{1}{13} : c$ при $c = 1; c = \frac{2}{13}; c = 1\frac{1}{7}; c = \frac{14}{9}.$

Сначала давай вспомним основные моменты, которые нам понадобятся для решения этой задачи.

1. Что такое обыкновенная дробь? Обыкновенная дробь — это число, представляющее собой часть целого, записанное в виде $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель.
2. Что такое смешанное число? Смешанное число — это число, состоящее из целой части и дробной части, например, $1\frac{1}{2}$.
3. Как перевести смешанное число в неправильную дробь? Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется тем же. Например, $2\frac{1}{3} = \frac{2*3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
4. Как разделить дробь на дробь? Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c}$.
5. Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями? Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой больше числитель. Например, $\frac{3}{5} > \frac{2}{5}$.
6. Как сравнивать дроби с разными знаменателями? Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю, а затем сравнить числители.

Теперь, когда мы вспомнили основные правила, можем приступить к решению задачи.

Нам нужно сравнить значения выражения $1\frac{1}{13} : c$ при разных значениях $c$.

1. Преобразуем смешанную дробь $1\frac{1}{13}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{13} = \frac{1 * 13 + 1}{13} = \frac{14}{13}$

Теперь мы можем записать наше выражение как $\frac{14}{13} : c$.

2. Вычислим значение выражения при $c = 1$:

$\frac{14}{13} : 1 = \frac{14}{13}$

3. Вычислим значение выражения при $c = \frac{2}{13}$:

$\frac{14}{13} : \frac{2}{13} = \frac{14}{13} * \frac{13}{2} = \frac{14 * 13}{13 * 2} = \frac{14}{2} = 7$

4. Вычислим значение выражения при $c = 1\frac{1}{7}$:

Сначала преобразуем $1\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{7} = \frac{1 * 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$

Теперь делим:

$\frac{14}{13} : \frac{8}{7} = \frac{14}{13} * \frac{7}{8} = \frac{14 * 7}{13 * 8} = \frac{98}{104}$

Сократим дробь $\frac{98}{104}$ на 2:

$\frac{98 : 2}{104 : 2} = \frac{49}{52}$

5. Вычислим значение выражения при $c = \frac{14}{9}$:

$\frac{14}{13} : \frac{14}{9} = \frac{14}{13} * \frac{9}{14} = \frac{14 * 9}{13 * 14} = \frac{9}{13}$

6. Сравним полученные значения:

У нас получились следующие значения:

$\frac{14}{13}$
$7$
$\frac{49}{52}$
$\frac{9}{13}$

Чтобы сравнить эти числа, приведем их к общему знаменателю. В данном случае, удобно привести все дроби к знаменателю 52 (так как 13 * 4 = 52).

$\frac{14}{13} = \frac{14 * 4}{13 * 4} = \frac{56}{52}$
$7 = \frac{7 * 52}{52} = \frac{364}{52}$
$\frac{49}{52}$ (уже с нужным знаменателем)
$\frac{9}{13} = \frac{9 * 4}{13 * 4} = \frac{36}{52}$

Теперь мы можем легко сравнить дроби:

$\frac{36}{52} < \frac{49}{52} < \frac{56}{52} < \frac{364}{52}$

Запишем сравнение в исходных значениях:

$\frac{9}{13} < \frac{49}{52} < \frac{14}{13} < 7$

Ответ:
$\frac{9}{13} < \frac{49}{52} < 1\frac{1}{13} < 7$