Найдите произведение дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{13}{9}$ и произведение дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение еще на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений).

Теория

Прежде чем приступить к решению задачи, давай вспомним основные понятия и правила, которые нам понадобятся.

1. Обыкновенные дроби: Число вида $\frac{a}{b}$, где a − числитель, b − знаменатель.
2. Произведение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и знаменатели:
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$
3. Взаимно обратные числа: Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1. Например, $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ − взаимно обратные, так как $\frac{2}{3} * \frac{3}{2} = 1$. Чтобы получить число, обратное данному, нужно поменять местами числитель и знаменатель. Число, обратное дроби $\frac{a}{b}$, есть дробь $\frac{b}{a}$.

Решение

1. Найдем произведение дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{13}{9}$:

$\frac{4}{5} * \frac{13}{9} = \frac{4 * 13}{5 * 9} = \frac{52}{45}$

2. Найдем дроби, обратные данным:

Дробь, обратная $\frac{4}{5}$, равна $\frac{5}{4}$.
Дробь, обратная $\frac{13}{9}$, равна $\frac{9}{13}$.

3. Найдем произведение дробей, обратных данным:

$\frac{5}{4} * \frac{9}{13} = \frac{5 * 9}{4 * 13} = \frac{45}{52}$

4. Проверим, каким свойством обладают эти два произведения:

Чтобы проверить, являются ли числа $\frac{52}{45}$ и $\frac{45}{52}$ взаимно обратными, найдем их произведение:

$\frac{52}{45} * \frac{45}{52} = \frac{52 * 45}{45 * 52} = \frac{2340}{2340} = 1$

Так как произведение равно 1, то числа $\frac{52}{45}$ и $\frac{45}{52}$ − взаимно обратные.

Вывод: Произведение дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{13}{9}$ и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

5. Проверим наше предположение еще на одном примере:

Возьмем дроби $\frac{2}{7}$ и $\frac{5}{3}$.

Произведение данных дробей: $\frac{2}{7} * \frac{5}{3} = \frac{2 * 5}{7 * 3} = \frac{10}{21}$
Дроби, обратные данным: $\frac{7}{2}$ и $\frac{3}{5}$.
Произведение дробей, обратных данным: $\frac{7}{2} * \frac{3}{5} = \frac{7 * 3}{2 * 5} = \frac{21}{10}$

Проверим, являются ли $\frac{10}{21}$ и $\frac{21}{10}$ взаимно обратными:

$\frac{10}{21} * \frac{21}{10} = \frac{10 * 21}{21 * 10} = \frac{210}{210} = 1$

Вывод: На втором примере мы также убедились, что произведение дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.

6. Докажем это свойство в общем виде (с помощью буквенных выражений):

Пусть даны две дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$.

Произведение данных дробей: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d} = \frac{ac}{bd}$
Дроби, обратные данным: $\frac{b}{a}$ и $\frac{d}{c}$.
Произведение дробей, обратных данным: $\frac{b}{a} * \frac{d}{c} = \frac{b * d}{a * c} = \frac{bd}{ac}$

Проверим, являются ли $\frac{ac}{bd}$ и $\frac{bd}{ac}$ взаимно обратными:

$\frac{ac}{bd} * \frac{bd}{ac} = \frac{ac * bd}{bd * ac} = \frac{acbd}{bdac} = 1$

Так как произведение равно 1, то дроби $\frac{ac}{bd}$ и $\frac{bd}{ac}$ − взаимно обратные.

Вывод: Мы доказали, что произведение двух дробей и произведение дробей, обратных данным, являются взаимно обратными числами.