Найдите значение выражения:
а) $(\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2$;
б) $(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2$;
в) $(\frac{2}{9} * \frac{7}{8} : \frac{7}{18})^3$.

Сначала давай вспомним основные правила работы с обыкновенными дробями и степенями, которые нам понадобятся для решения этих примеров.

Теория:

1. Умножение обыкновенных дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и знаменатели отдельно:

$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$

Например: $\frac{1}{2} * \frac{3}{4} = \frac{1*3}{2*4} = \frac{3}{8}$

2. Деление обыкновенных дробей: Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую дробь:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$

Например: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} * \frac{4}{3} = \frac{1*4}{2*3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. Возведение дроби в степень: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Например: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

4. Сокращение дробей: Перед умножением или после него полезно сокращать дроби, чтобы упростить вычисления. Для этого нужно найти общий делитель у числителя и знаменателя и разделить на него оба числа.

Например: $\frac{4}{6} = \frac{2*2}{2*3} = \frac{2}{3}$ (сократили на 2)

5. Смешанные числа: Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет целой частью, остаток – числителем дробной части, а знаменатель останется тем же.

Например: $\frac{9}{4}$. 9 делим на 4, получаем 2 целых и 1 в остатке. Поэтому $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Теперь давай решим твои примеры по шагам.

а) $(\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2$

1. Сначала выполним деление в скобках, заменив деление на умножение на перевернутую дробь:

$\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} * \frac{9}{4}$

2. Теперь умножим дроби:
$\frac{2}{3} * \frac{9}{4} = \frac{2*9}{3*4} = \frac{18}{12}$

3. Сократим дробь $\frac{18}{12}$ на 6:

$\frac{18}{12} = \frac{18:6}{12:6} = \frac{3}{2}$

4. Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$

5. Представим неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в виде смешанного числа:

$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Итак, $(\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2 = 2\frac{1}{4}$

б) $(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2$

1. Сначала возведем каждую дробь в квадрат:

$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

$(\frac{4}{9})^2 = \frac{4^2}{9^2} = \frac{16}{81}$

2. Теперь выполним деление, заменив его на умножение на перевернутую дробь:

$\frac{4}{9} : \frac{16}{81} = \frac{4}{9} * \frac{81}{16}$

3. Умножим дроби:

$\frac{4}{9} * \frac{81}{16} = \frac{4*81}{9*16} = \frac{324}{144}$

4. Сократим дробь $\frac{324}{144}$. Заметим, что оба числа делятся на 36:

$\frac{324}{144} = \frac{324:36}{144:36} = \frac{9}{4}$

5. Представим неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в виде смешанного числа:

$\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

Итак, $(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2 = 2\frac{1}{4}$

в) $(\frac{2}{9} * \frac{7}{8} : \frac{7}{18})^3$

1. Сначала выполним умножение:

$\frac{2}{9} * \frac{7}{8} = \frac{2*7}{9*8} = \frac{14}{72}$

2. Сократим дробь $\frac{14}{72}$ на 2:

$\frac{14}{72} = \frac{14:2}{72:2} = \frac{7}{36}$

3. Теперь выполним деление, заменив его на умножение на перевернутую дробь:

$\frac{7}{36} : \frac{7}{18} = \frac{7}{36} * \frac{18}{7}$

4. Умножим дроби:

$\frac{7}{36} * \frac{18}{7} = \frac{7*18}{36*7} = \frac{126}{252}$

5. Сократим дробь $\frac{126}{252}$. Заметим, что оба числа делятся на 126:

$\frac{126}{252} = \frac{126:126}{252:126} = \frac{1}{2}$

6. Теперь возведем полученную дробь в куб:

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Итак, $(\frac{2}{9} * \frac{7}{8} : \frac{7}{18})^3 = \frac{1}{8}$

Ответ:
а) $(\frac{2}{3} : \frac{4}{9})^2 = 2\frac{1}{4}$
б) $(\frac{2}{3})^2 : (\frac{4}{9})^2 = 2\frac{1}{4}$
в) $(\frac{2}{9} * \frac{7}{8} : \frac{7}{18})^3 = \frac{1}{8}$