Вычислите:
1) $1\frac{1}{4} : 2\frac{1}{4} * 1\frac{2}{7}$;
2) $4\frac{1}{3} * 1\frac{7}{8} : \frac{13}{15}$;
3) $1\frac{3}{7} * \frac{11}{15} : 4\frac{5}{7}$;
4) $1\frac{6}{7} : 3\frac{5}{7} * \frac{4}{9}$.

Сначала давай вспомним основные правила работы с дробями, которые нам понадобятся для решения этих примеров.

Теория:

1. Смешанная дробь. Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется тем же.
Например: $2\frac{1}{3} = \frac{2*3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

2. Деление дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя.
Например: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c}$.

3. Умножение дробей. Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и знаменатели соответственно.
Например: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$.

4. Сокращение дробей. После умножения или деления дробей, если возможно, нужно сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель.

Теперь, когда мы вспомнили основные правила, давай решим примеры по порядку.

1. $1\frac{1}{4} : 2\frac{1}{4} * 1\frac{2}{7}$

Переведем смешанные дроби в неправильные:
$1\frac{1}{4} = \frac{1*4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
$2\frac{1}{4} = \frac{2*4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
$1\frac{2}{7} = \frac{1*7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$

Теперь запишем выражение с неправильными дробями:
$\frac{5}{4} : \frac{9}{4} * \frac{9}{7}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{5}{4} * \frac{4}{9} * \frac{9}{7}$

Выполним умножение:
$\frac{5 * 4 * 9}{4 * 9 * 7} = \frac{180}{252}$

Сократим дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 36:
$\frac{180 : 36}{252 : 36} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

2. $4\frac{1}{3} * 1\frac{7}{8} : \frac{13}{15}$

Переведем смешанные дроби в неправильные:
$4\frac{1}{3} = \frac{4*3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$
$1\frac{7}{8} = \frac{1*8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$

Запишем выражение с неправильными дробями:
$\frac{13}{3} * \frac{15}{8} : \frac{13}{15}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{13}{3} * \frac{15}{8} * \frac{15}{13}$

Выполним умножение:
$\frac{13 * 15 * 15}{3 * 8 * 13} = \frac{2925}{312}$

Сократим дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 3 и на 13:
$\frac{2925 : 3}{312 : 3} = \frac{975}{104}$
$\frac{975 : 13}{104 : 13} = \frac{75}{8}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанную:
$\frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}$

Ответ: $9\frac{3}{8}$

3. $1\frac{3}{7} * \frac{11}{15} : 4\frac{5}{7}$

Переведем смешанную дробь в неправильную:
$1\frac{3}{7} = \frac{1*7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$
$4\frac{5}{7} = \frac{4*7 + 5}{7} = \frac{33}{7}$

Запишем выражение с неправильными дробями:
$\frac{10}{7} * \frac{11}{15} : \frac{33}{7}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{10}{7} * \frac{11}{15} * \frac{7}{33}$

Выполним умножение:
$\frac{10 * 11 * 7}{7 * 15 * 33} = \frac{770}{3465}$

Сократим дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 385:
$\frac{770 : 385}{3465 : 385} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$

4. $1\frac{6}{7} : 3\frac{5}{7} * \frac{4}{9}$

Переведем смешанные дроби в неправильные:
$1\frac{6}{7} = \frac{1*7 + 6}{7} = \frac{13}{7}$
$3\frac{5}{7} = \frac{3*7 + 5}{7} = \frac{26}{7}$

Запишем выражение с неправильными дробями:
$\frac{13}{7} : \frac{26}{7} * \frac{4}{9}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{13}{7} * \frac{7}{26} * \frac{4}{9}$

Выполним умножение:
$\frac{13 * 7 * 4}{7 * 26 * 9} = \frac{364}{1638}$

Сократим дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 182:
$\frac{364 : 182}{1638 : 182} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$