Найдите x, если:
а) $1\frac{2}{3}x = \frac{3}{5}$;
б) $x * 1\frac{7}{9} = 1\frac{2}{3}$.

Для решения этих уравнений, нам нужно вспомнить несколько важных правил работы с дробями:

1. Смешанная дробь и неправильная дробь: Смешанная дробь состоит из целой части и дробной (например, $1\frac{2}{3}$). Неправильная дробь − это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, $\frac{5}{3}$). Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним. Например, $1\frac{2}{3} = \frac{1 * 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
2. Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Обратная дробь получается путем замены числителя и знаменателя местами. Например, чтобы разделить $\frac{a}{b}$ на $\frac{c}{d}$, нужно $\frac{a}{b}$ умножить на $\frac{d}{c}$, то есть $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c}$.
3. Умножение дробей: Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и знаменатели. То есть, $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$.
4. Сокращение дробей: Перед умножением дробей, часто полезно сократить дроби, чтобы упростить вычисления. Сокращение дроби означает деление числителя и знаменателя на их общий делитель.

Теперь решим уравнения по шагам:

а) $1\frac{2}{3}x = \frac{3}{5}$

1. Переведем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{2}{3} = \frac{1 * 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Теперь уравнение выглядит так: $\frac{5}{3}x = \frac{3}{5}$.
2. Чтобы найти $x$, нужно разделить $\frac{3}{5}$ на $\frac{5}{3}$: $x = \frac{3}{5} : \frac{5}{3}$.
3. Деление заменяем умножением на обратную дробь: $x = \frac{3}{5} * \frac{3}{5}$.
4. Умножаем дроби: $x = \frac{3 * 3}{5 * 5} = \frac{9}{25}$.

Ответ: $x = \frac{9}{25}$

б) $x * 1\frac{7}{9} = 1\frac{2}{3}$

1. Переведем обе смешанные дроби в неправильные:
$1\frac{7}{9} = \frac{1 * 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$ и $1\frac{2}{3} = \frac{1 * 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
Теперь уравнение выглядит так: $x * \frac{16}{9} = \frac{5}{3}$.
2. Чтобы найти $x$, нужно разделить $\frac{5}{3}$ на $\frac{16}{9}$: $x = \frac{5}{3} : \frac{16}{9}$.
3. Деление заменяем умножением на обратную дробь: $x = \frac{5}{3} * \frac{9}{16}$.
4. Сокращаем дроби: $\frac{5}{\bcancel{3}} * \frac{\bcancel{9}^{3}}{16} = \frac{5}{1} * \frac{3}{16}$.
5. Умножаем дроби: $x = \frac{5 * 3}{1 * 16} = \frac{15}{16}$.

Ответ: $x = \frac{15}{16}$