Решите уравнение:
а) $(z - 6) * \frac{3}{7} = 3$;
б) $5\frac{1}{4}y - 5\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$.

Теория для решения уравнений

Уравнение − это равенство, содержащее неизвестное число, которое нужно найти. Это неизвестное число обычно обозначается буквой, например, $x$, $y$ или $z$. Решить уравнение − значит найти все значения неизвестного, при которых уравнение становится верным равенством. Такие значения называются корнями уравнения.

Основные правила, которые используются при решении уравнений:

1. Основное свойство уравнений: Если к обеим частям уравнения прибавить или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же число, то получится уравнение, имеющее те же корни, что и исходное.
2. Основное свойство уравнений (умножение и деление): Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится уравнение, имеющее те же корни, что и исходное.
3. Раскрытие скобок: Если в уравнении есть скобки, их можно раскрыть, используя распределительное свойство умножения: $a(b + c) = ab + ac$.
4. Приведение подобных слагаемых: В уравнении можно упростить выражение, приведя подобные слагаемые. Подобные слагаемые − это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Например, $3x + 2x = 5x$.

Решение уравнений с дробями

При решении уравнений с дробями полезно знать следующие правила:

1. Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Например, $\frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5}{3} = \frac{10}{3}$.
2. Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную данной. Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя. Например, $3 : \frac{2}{5} = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2} = \frac{15}{2}$.
3. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй. Например, $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Решение уравнений с смешанными числами

1. Преобразуйте смешанные числа в неправильные дроби. Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, прибавить к числителю дробной части и записать результат в числитель новой дроби. Знаменатель остается прежним. Например, $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Решение уравнения а)

$(z - 6) * \frac{3}{7} = 3$

Чтобы найти неизвестный множитель $(z - 6)$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$z - 6 = 3 : \frac{3}{7}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную данной:
$z - 6 = 3 * \frac{7}{3}$
$z - 6 = \frac{3}{1} * \frac{7}{3}$

Сокращаем 3 и 3:
$z - 6 = \frac{1}{1} * \frac{7}{1}$
$z - 6 = 7$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $z$, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$z = 7 + 6$
$z = 13$

Ответ: $z = 13$

Решение уравнения б)

$5\frac{1}{4}y - 5\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$

Преобразуем смешанное число $5\frac{1}{4}$ в неправильную дробь:
$5\frac{1}{4} = \frac{5 * 4 + 1}{4} = \frac{20 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

Запишем уравнение с неправильной дробью:
$\frac{21}{4}y - \frac{21}{4} = \frac{21}{4}$

Вынесем общий множитель $\frac{21}{4}$ за скобки:
$\frac{21}{4}(y - 1) = \frac{21}{4}$

Чтобы найти неизвестный множитель $(y - 1)$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$y - 1 = \frac{21}{4} : \frac{21}{4}$

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:
$y - 1 = \frac{21}{4} * \frac{4}{21}$
$y - 1 = \frac{21 * 4}{4 * 21}$

Сокращаем 21 и 21, 4 и 4:
$y - 1 = \frac{1 * 1}{1 * 1}$
$y - 1 = 1$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $y$, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$y = 1 + 1$
$y = 2$

Ответ: $y = 2$