Найдите частное:
а) $\frac{5}{4} : \frac{2}{15}$;
б) $\frac{2}{3} : \frac{8}{9}$;
в) $\frac{64}{131} : \frac{32}{52}$;
г) $\frac{64}{125} : 4$;
д) $9 : \frac{3}{4}$;
е) 9 : 4;
ж) $1\frac{3}{7} : 1\frac{1}{14}$;
з) $2\frac{1}{3} : 7\frac{1}{9}$;
и) $3\frac{8}{19} : 5\frac{15}{38}$;
к) $4\frac{17}{36} : 19\frac{1}{6}$.

Теория

1. Деление обыкновенных дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя.
Например: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

2. Деление смешанных чисел: Чтобы разделить смешанные числа, сначала нужно превратить их в неправильные дроби, а затем выполнить деление по правилу деления обыкновенных дробей.

Чтобы превратить смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, прибавить числитель дробной части, а результат записать в числитель новой дроби. Знаменатель остается прежним.
Например: $a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

3. Деление числа на дробь: Чтобы разделить целое число на дробь, нужно целое число представить в виде дроби со знаменателем 1, а затем выполнить деление по правилу деления обыкновенных дробей.
Например: $a : \frac{b}{c} = \frac{a}{1} : \frac{b}{c} = \frac{a}{1} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{b}$

4. Сокращение дробей: Перед умножением дробей можно сократить числитель и знаменатель на их общий делитель, чтобы упростить вычисления.

Решение примеров

а) $\frac{5}{4} : \frac{2}{15} = \frac{5}{4} \cdot \frac{15}{2} = \frac{5 \cdot 15}{4 \cdot 2} = \frac{75}{8}$

Теперь выделим целую часть: $\frac{75}{8} = 9\frac{3}{8}$

б) $\frac{2}{3} : \frac{8}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 8}$

Сокращаем: $\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}_1 \cdot \cancel{8}_4} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4}$

в) $\frac{64}{131} : \frac{32}{52} = \frac{64}{131} \cdot \frac{52}{32} = \frac{64 \cdot 52}{131 \cdot 32}$

Сокращаем: $\frac{\cancel{64}^2 \cdot 52}{131 \cdot \cancel{32}_1} = \frac{2 \cdot 52}{131 \cdot 1} = \frac{104}{131}$

г) $\frac{64}{125} : 4 = \frac{64}{125} : \frac{4}{1} = \frac{64}{125} \cdot \frac{1}{4} = \frac{64 \cdot 1}{125 \cdot 4}$

Сокращаем: $\frac{\cancel{64}^{16} \cdot 1}{125 \cdot \cancel{4}_1} = \frac{16 \cdot 1}{125 \cdot 1} = \frac{16}{125}$

д) $9 : \frac{3}{4} = \frac{9}{1} : \frac{3}{4} = \frac{9}{1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{1 \cdot 3}$

Сокращаем: $\frac{\cancel{9}^3 \cdot 4}{1 \cdot \cancel{3}_1} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 12$

е) $9 : 4 = \frac{9}{4}$

Выделяем целую часть: $\frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$

ж) $1\frac{3}{7} : 1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} : \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{10}{7} : \frac{15}{14} = \frac{10}{7} \cdot \frac{14}{15} = \frac{10 \cdot 14}{7 \cdot 15}$

Сокращаем: $\frac{\cancel{10}^2 \cdot \cancel{14}^2}{\cancel{7}_1 \cdot \cancel{15}_3} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} = \frac{4}{3}$

Выделяем целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

з) $2\frac{1}{3} : 7\frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} : \frac{7 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{7}{3} : \frac{64}{9} = \frac{7}{3} \cdot \frac{9}{64} = \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 64}$

Сокращаем: $\frac{7 \cdot \cancel{9}^3}{\cancel{3}_1 \cdot 64} = \frac{7 \cdot 3}{1 \cdot 64} = \frac{21}{64}$

и) $3\frac{8}{19} : 5\frac{15}{38} = \frac{3 \cdot 19 + 8}{19} : \frac{5 \cdot 38 + 15}{38} = \frac{65}{19} : \frac{205}{38} = \frac{65}{19} \cdot \frac{38}{205} = \frac{65 \cdot 38}{19 \cdot 205}$

Сокращаем: $\frac{\cancel{65}^{13} \cdot \cancel{38}^2}{\cancel{19}_1 \cdot \cancel{205}^{41}} = \frac{13 \cdot 2}{1 \cdot 41} = \frac{26}{41}$

к) $4\frac{17}{36} : 19\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 36 + 17}{36} : \frac{19 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{161}{36} : \frac{115}{6} = \frac{161}{36} \cdot \frac{6}{115} = \frac{161 \cdot 6}{36 \cdot 115}$

Сокращаем: $\frac{161 \cdot \cancel{6}^1}{\cancel{36}_6 \cdot 115} = \frac{161}{6 \cdot 115}$

Заметим, что 161 делится на 7, а 115 делится на 5. Попробуем разделить 161 на 7 и 115 на 5.
$161 = 7 \cdot 23$, а $115 = 5 \cdot 23$
Получаем:
$\frac{7 \cdot \cancel{23} \cdot \cancel{6}^1}{\cancel{36}_6 \cdot 5 \cdot \cancel{23}} = \frac{7 \cdot 1}{6 \cdot 5} = \frac{7}{30}$

Ответы:

а) $9\frac{3}{8}$
б) $\frac{3}{4}$
в) $\frac{104}{131}$
г) $\frac{16}{125}$
д) $12$
е) $2\frac{1}{4}$
ж) $1\frac{1}{3}$
з) $\frac{21}{64}$
и) $\frac{26}{41}$
к) $\frac{7}{30}$