Какие числа обратны числам:
а) $\frac{10}{36}, \frac{13}{65}, \frac{31}{65}, \frac{13}{134}, \frac{17}{428}, \frac{10}{4}, \frac{36}{7}$;
б) $13\frac{13}{14}, \frac{1}{40}, 50, 100, 1, 0,5, 2,8$?

Теория

1. Что такое взаимно обратные числа?

Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1.

Например:
$\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ − взаимно обратные, так как $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$
5 и $\frac{1}{5}$ − взаимно обратные, так как $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$

2. Как найти число, обратное данному?

Для обыкновенной дроби: Чтобы найти число, обратное обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, нужно поменять местами числитель и знаменатель. Получится дробь $\frac{b}{a}$.

Например: Число, обратное $\frac{5}{7}$, равно $\frac{7}{5}$.

Для целого числа: Чтобы найти число, обратное целому числу $a$, нужно представить его в виде дроби $\frac{a}{1}$ и затем поменять местами числитель и знаменатель. Получится дробь $\frac{1}{a}$.

Например: Число, обратное 8, равно $\frac{1}{8}$.

Для смешанного числа: Чтобы найти число, обратное смешанному числу, нужно сначала перевести его в неправильную дробь, а затем поменять местами числитель и знаменатель.

Например:

а) Дано смешанное число $2\frac{1}{3}$.
б) Переводим его в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
в) Находим число, обратное $\frac{7}{3}$, это будет $\frac{3}{7}$.

3. Важные моменты

Число 0 не имеет обратного числа, так как нельзя делить на 0.
исло 1 обратно самому себе, так как $1 \cdot 1 = 1$.

Решение

Теперь решим предложенные примеры, подробно расписывая каждый шаг:

а)

1. $\frac{10}{36}$. Обратное число: $\frac{36}{10}$. Сокращаем дробь: $\frac{36}{10} = \frac{18}{5}$. Выделяем целую часть: $\frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}$.

2. $\frac{13}{65}$. Обратное число: $\frac{65}{13}$. Делим 65 на 13: $\frac{65}{13} = 5$.

3. $\frac{31}{65}$. Обратное число: $\frac{65}{31}$. Выделяем целую часть: $\frac{65}{31} = 2\frac{3}{31}$.

4. $\frac{13}{134}$. Обратное число: $\frac{134}{13}$. Выделяем целую часть: $\frac{134}{13} = 10\frac{4}{13}$.

5. $\frac{17}{428}$. Обратное число: $\frac{428}{17}$. Выделяем целую часть: $\frac{428}{17} = 25\frac{3}{17}$.

\6. $\frac{10}{4}$. Обратное число: $\frac{4}{10}$. Сокращаем дробь: $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

7. $\frac{36}{7}$. Обратное число: $\frac{7}{36}$.

б)

1. $13\frac{13}{14}$. Переводим в неправильную дробь: $13\frac{13}{14} = \frac{13 \cdot 14 + 13}{14} = \frac{182 + 13}{14} = \frac{195}{14}$. Обратное число: $\frac{14}{195}$.

2. $\frac{1}{40}$. Обратное число: $\frac{40}{1} = 40$.

3. 50. Представляем как дробь: $\frac{50}{1}$. Обратное число: $\frac{1}{50}$.

4. 100. Представляем как дробь: $\frac{100}{1}$. Обратное число: $\frac{1}{100}$.

5. 1. Представляем как дробь: $\frac{1}{1}$. Обратное число: $\frac{1}{1} = 1$.

6. 0,5. Представляем как обыкновенную дробь: $0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Обратное число: $\frac{2}{1} = 2$.

7. 2,8. Представляем как обыкновенную дробь: $2,8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$. Обратное число: $\frac{5}{14}$.

Ответ
а) $3\frac{3}{5}; 5; 2\frac{3}{31}; 10\frac{4}{13}; 25\frac{3}{17}; \frac{2}{5}; \frac{7}{36}$.
б) $\frac{14}{195}, 40, \frac{1}{50}, \frac{1}{100}, 1, 2, \frac{5}{14}$.