Решите уравнение:
а) $1\frac{5}{7} : x = \frac{6}{7} : 2$;
б) $a : 1\frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} * \frac{1}{4}$;
в) $1\frac{2}{3} * (\frac{1}{3}n + \frac{3}{7}) = 2\frac{1}{4}$;
г) $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5}) * \frac{7}{8} = \frac{7}{8}$.

Теория

1. Что такое уравнение? Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное значение (обычно обозначаемое буквой, например, x, a, n, z), которое нужно найти.

2. Как решать уравнения? Цель решения уравнения — найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным. Для этого мы выполняем различные математические операции с обеими частями уравнения, пока не останется только неизвестное с одной стороны и его значение с другой.

3. Основные правила при решении уравнений:

Равносильные преобразования: Если к обеим частям уравнения прибавить (или вычесть) одно и то же число, то уравнение не изменится. Также можно умножать (или делить) обе части уравнения на одно и то же число (кроме нуля), и уравнение останется верным.
Перенос слагаемых: Слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
Умножение и деление дробей:
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и знаменатели: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$.
Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель.

4. Смешанные числа: Чтобы было удобнее выполнять вычисления, смешанное число (например, $1\frac{5}{7}$) лучше сразу перевести в неправильную дробь: $1\frac{5}{7} = \frac{1*7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$.

Теперь давай разберем каждое уравнение по шагам:

а) $1\frac{5}{7} : x = \frac{6}{7} : 2$

1. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{5}{7} = \frac{12}{7}$.
2. Представим 2 как дробь: $2 = \frac{2}{1}$.
3. Запишем уравнение с неправильной дробью: $\frac{12}{7} : x = \frac{6}{7} : \frac{2}{1}$.
4. Выполним деление в правой части: $\frac{6}{7} : \frac{2}{1} = \frac{6}{7} * \frac{1}{2} = \frac{6 * 1}{7 * 2} = \frac{6}{14}$. Можно сократить дробь $\frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
5. Теперь уравнение выглядит так: $\frac{12}{7} : x = \frac{3}{7}$.
6. Чтобы найти x, нужно делимое разделить на частное: $x = \frac{12}{7} : \frac{3}{7}$.
7. Выполним деление: $x = \frac{12}{7} * \frac{7}{3} = \frac{12 * 7}{7 * 3} = \frac{84}{21}$.
8. Сократим дробь: $x = \frac{84}{21} = 4$.

Ответ: x = 4

б) $a : 1\frac{3}{4} = 1\frac{3}{4} * \frac{1}{4}$

1. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
2. Запишем уравнение с неправильной дробью: $a : \frac{7}{4} = \frac{7}{4} * \frac{1}{4}$.
3. Выполним умножение в правой части: $\frac{7}{4} * \frac{1}{4} = \frac{7 * 1}{4 * 4} = \frac{7}{16}$.
4. Теперь уравнение выглядит так: $a : \frac{7}{4} = \frac{7}{16}$.
5. Чтобы найти a, нужно частное умножить на делитель: $a = \frac{7}{16} * \frac{7}{4}$.
6. Выполним умножение: $a = \frac{7 * 7}{16 * 4} = \frac{49}{64}$.

Ответ: $a = \frac{49}{64}$

в) $1\frac{2}{3} * (\frac{1}{3}n + \frac{3}{7}) = 2\frac{1}{4}$

1. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ и $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
2. Запишем уравнение с неправильными дробями: $\frac{5}{3} * (\frac{1}{3}n + \frac{3}{7}) = \frac{9}{4}$.
3. Чтобы найти $(\frac{1}{3}n + \frac{3}{7})$, нужно произведение разделить на известный множитель: $(\frac{1}{3}n + \frac{3}{7}) = \frac{9}{4} : \frac{5}{3}$.
4. Выполним деление: $\frac{9}{4} : \frac{5}{3} = \frac{9}{4} * \frac{3}{5} = \frac{27}{20}$.
5. Теперь уравнение выглядит так: $\frac{1}{3}n + \frac{3}{7} = \frac{27}{20}$.
6. Чтобы найти $\frac{1}{3}n$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $\frac{1}{3}n = \frac{27}{20} - \frac{3}{7}$.
7. Приведем дроби к общему знаменателю (140): $\frac{27}{20} - \frac{3}{7} = \frac{27 * 7}{20 * 7} - \frac{3 * 20}{7 * 20} = \frac{189}{140} - \frac{60}{140} = \frac{129}{140}$.
8. Теперь уравнение выглядит так: $\frac{1}{3}n = \frac{129}{140}$.
9. Чтобы найти n, нужно $\frac{129}{140}$ разделить на $\frac{1}{3}$: $n = \frac{129}{140} : \frac{1}{3}$.
10. Выполним деление: $n = \frac{129}{140} * \frac{3}{1} = \frac{387}{140}$.
11. Выделим целую часть: $n = \frac{387}{140} = 2\frac{107}{140}$.

Ответ: $n = 2\frac{107}{140}$

г) $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5}) * \frac{7}{8} = \frac{7}{8}$

1. Чтобы найти $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5})$, нужно произведение разделить на известный множитель: $(\frac{5}{4}z - \frac{3}{5}) = \frac{7}{8} : \frac{7}{8}$.
2. Выполним деление: $\frac{7}{8} : \frac{7}{8} = 1$.
3. Теперь уравнение выглядит так: $\frac{5}{4}z - \frac{3}{5} = 1$.
4. Чтобы найти $\frac{5}{4}z$, нужно к разности прибавить вычитаемое: $\frac{5}{4}z = 1 + \frac{3}{5}$.
5. Представим 1 как дробь со знаменателем 5: $1 = \frac{5}{5}$.
6. Сложим дроби: $\frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$.
7. Теперь уравнение выглядит так: $\frac{5}{4}z = \frac{8}{5}$.
8. Чтобы найти z, нужно $\frac{8}{5}$ разделить на $\frac{5}{4}$: $z = \frac{8}{5} : \frac{5}{4}$.
9. Выполним деление: $z = \frac{8}{5} * \frac{4}{5} = \frac{32}{25}$.
10. Выделим целую часть: $z = \frac{32}{25} = 1\frac{7}{25}$.

Ответ: $z = 1\frac{7}{25}$