Найдите корень уравнения:
а) $\frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = 3\frac{1}{18}$;
б) $\frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y - 4 = \frac{1}{7}$;
в) $n + \frac{5}{14}n = \frac{1}{7}$;
г) $y - \frac{1}{9}y = 5\frac{1}{3}$;
д) $\frac{2}{7}c + \frac{2}{3}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2}$;
е) $\frac{5}{8}x + x - \frac{3}{4}x = 1\frac{3}{4}$.

Теория

Прежде чем мы начнем решать уравнения, давай вспомним основные правила, которые нам понадобятся:

1. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель.

2. Сложение и вычитание дробей: После приведения дробей к общему знаменателю, чтобы сложить или вычесть дроби, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.

3. Умножение дробей: Чтобы умножить дроби, нужно умножить их числители и знаменатели.

4. Деление дробей: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь.

5. Решение уравнений: Чтобы решить уравнение, нужно найти значение переменной, при котором уравнение становится верным. Для этого нужно выполнить одинаковые действия с обеими частями уравнения, чтобы привести его к виду "переменная = число".

Теперь давай решим уравнения.

а) $\frac{1}{9}x + \frac{4}{9}x = 3\frac{1}{18}$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{1+4}{9}x = 3\frac{1}{18}$

$\frac{5}{9}x = 3\frac{1}{18}$

Теперь превратим смешанную дробь в неправильную:

$\frac{5}{9}x = \frac{3*18 + 1}{18}$

$\frac{5}{9}x = \frac{55}{18}$

Чтобы найти x, нужно разделить обе части уравнения на $\frac{5}{9}$:

$x = \frac{55}{18} : \frac{5}{9}$

Теперь деление заменяем умножением на перевернутую дробь:

$x = \frac{55}{18} \cdot \frac{9}{5}$

Сокращаем дроби:

$x = \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{1}$

$x = \frac{11}{2}$

Теперь превратим неправильную дробь в смешанную:

$x = 5\frac{1}{2}$

Ответ: $x = 5\frac{1}{2}$

б) $\frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y - 4 = \frac{1}{7}$

Сначала перенесем число −4 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$\frac{5}{7}y + \frac{2}{3}y = \frac{1}{7} + 4$

Теперь приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю (21):

$\frac{5 \cdot 3}{7 \cdot 3}y + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}y = \frac{1}{7} + 4$

$\frac{15}{21}y + \frac{14}{21}y = \frac{1}{7} + 4$

Сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{15+14}{21}y = \frac{1}{7} + 4$

$\frac{29}{21}y = \frac{1}{7} + 4$

Теперь представим 4 как дробь со знаменателем 7:

$\frac{29}{21}y = \frac{1}{7} + \frac{4 \cdot 7}{7}$

$\frac{29}{21}y = \frac{1}{7} + \frac{28}{7}$

Сложим дроби в правой части уравнения:

$\frac{29}{21}y = \frac{1+28}{7}$

$\frac{29}{21}y = \frac{29}{7}$

Чтобы найти y, нужно разделить обе части уравнения на $\frac{29}{21}$:

$y = \frac{29}{7} : \frac{29}{21}$

Деление заменяем умножением на перевернутую дробь:

$y = \frac{29}{7} \cdot \frac{21}{29}$

Сокращаем дроби:

$y = \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1}$

$y = 3$

Ответ: $y = 3$

в) $n + \frac{5}{14}n = \frac{1}{7}$

Представим n как дробь $\frac{14}{14}n$:

$\frac{14}{14}n + \frac{5}{14}n = \frac{1}{7}$

Сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{14+5}{14}n = \frac{1}{7}$

$\frac{19}{14}n = \frac{1}{7}$

Чтобы найти n, нужно разделить обе части уравнения на $\frac{19}{14}$:

$n = \frac{1}{7} : \frac{19}{14}$

Деление заменяем умножением на перевернутую дробь:

$n = \frac{1}{7} \cdot \frac{14}{19}$

Сокращаем дроби:

$n = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{19}$

$n = \frac{2}{19}$

Ответ: $n = \frac{2}{19}$

г) $y - \frac{1}{9}y = 5\frac{1}{3}$

Представим y как дробь $\frac{9}{9}y$:

$\frac{9}{9}y - \frac{1}{9}y = 5\frac{1}{3}$

Вычтем дроби в левой части уравнения:

$\frac{9-1}{9}y = 5\frac{1}{3}$

$\frac{8}{9}y = 5\frac{1}{3}$

Теперь превратим смешанную дробь в неправильную:

$\frac{8}{9}y = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3}$

$\frac{8}{9}y = \frac{16}{3}$

Чтобы найти y, нужно разделить обе части уравнения на $\frac{8}{9}$:

$y = \frac{16}{3} : \frac{8}{9}$

Деление заменяем умножением на перевернутую дробь:

$y = \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{8}$

Сокращаем дроби:

$y = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1}$

$y = 6$

Ответ: $y = 6$

д) $\frac{2}{7}c + \frac{2}{3}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю (21):

$\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 3}c + \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2}$

$\frac{6}{21}c + \frac{14}{21}c - \frac{11}{21}c = 3\frac{1}{2}$

Сложим и вычтем дроби в левой части уравнения:

$\frac{6+14-11}{21}c = 3\frac{1}{2}$

$\frac{9}{21}c = 3\frac{1}{2}$

Сократим дробь $\frac{9}{21}$:

$\frac{3}{7}c = 3\frac{1}{2}$

Теперь превратим смешанную дробь в неправильную:

$\frac{3}{7}c = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2}$

$\frac{3}{7}c = \frac{7}{2}$

Чтобы найти c, нужно разделить обе части уравнения на $\frac{3}{7}$:

$c = \frac{7}{2} : \frac{3}{7}$

Деление заменяем умножением на перевернутую дробь:

$c = \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{3}$

$c = \frac{49}{6}$

Теперь превратим неправильную дробь в смешанную:

$c = 8\frac{1}{6}$

Ответ: $c = 8\frac{1}{6}$

е) $\frac{5}{8}x + x - \frac{3}{4}x = 1\frac{3}{4}$

Представим x как дробь $\frac{8}{8}x$ и приведем дробь $\frac{3}{4}x$ к знаменателю 8:

$\frac{5}{8}x + \frac{8}{8}x - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}x = 1\frac{3}{4}$

$\frac{5}{8}x + \frac{8}{8}x - \frac{6}{8}x = 1\frac{3}{4}$

Сложим и вычтем дроби в левой части уравнения:

$\frac{5+8-6}{8}x = 1\frac{3}{4}$

$\frac{7}{8}x = 1\frac{3}{4}$

Теперь превратим смешанную дробь в неправильную:

$\frac{7}{8}x = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4}$

$\frac{7}{8}x = \frac{7}{4}$

Чтобы найти x, нужно разделить обе части уравнения на $\frac{7}{8}$:

$x = \frac{7}{4} : \frac{7}{8}$

Деление заменяем умножением на перевернутую дробь:

$x = \frac{7}{4} \cdot \frac{8}{7}$

Сокращаем дроби:

$x = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1}$

$x = 2$

Ответ: $x = 2$