Решите уравнение:
а) $\frac{2}{7}z = 1\frac{1}{7}$;
б) $\frac{3}{5}n = 2\frac{7}{10} - \frac{3}{5}$;
в) $\frac{4}{9}b + \frac{3}{7} = 1$;
г) $\frac{5}{9}m - \frac{1}{2} = \frac{5}{18}$.

Давай разберем, как решать уравнения, в которых есть дроби. Это не так сложно, как может показаться!

Теория

1. Что такое уравнение? Уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число (обычно обозначается буквой, например, x, y, z). Наша задача – найти это неизвестное число.

2. Основное свойство уравнений: Если к обеим частям уравнения прибавить (или вычесть) одно и то же число, то равенство не нарушится. Также можно обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же число (кроме нуля), и равенство останется верным.

3. Как решать уравнения с дробями:

Избавляемся от сложения/вычитания: Если в уравнении есть слагаемые с дробями, сначала нужно "убрать" все, что прибавляется или вычитается из части уравнения с неизвестным. Делаем это, перенося слагаемые в другую часть уравнения с противоположным знаком.
Избавляемся от умножения/деления: Если неизвестное умножается на дробь, нужно разделить обе части уравнения на эту дробь. Деление на дробь – это то же самое, что умножение на перевернутую дробь.

4. Как делить на дробь? Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, "перевернутую" (т.е. поменять местами числитель и знаменатель).

5. Смешанные числа: Иногда в уравнениях встречаются смешанные числа (например, $1\frac{1}{2}$). Чтобы было удобнее с ними работать, их нужно перевести в неправильные дроби. Для этого целую часть умножаем на знаменатель дробной части, прибавляем числитель и записываем результат в числитель новой дроби. Знаменатель остается прежним. Например: $1\frac{1}{2} = \frac{1*2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

Теперь решим твои уравнения по шагам:

а) $\frac{2}{7}z = 1\frac{1}{7}$

Переводим смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{7} = \frac{1*7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$.Теперь уравнение выглядит так: $\frac{2}{7}z = \frac{8}{7}$.
Чтобы найти z, нужно разделить $\frac{8}{7}$ на $\frac{2}{7}$. Это то же самое, что умножить $\frac{8}{7}$ на $\frac{7}{2}$.
$z = \frac{8}{7} * \frac{7}{2} = \frac{8 * 7}{7 * 2}$.
Сокращаем дробь: и 8, и 2 делятся на 2, а 7 и 7 делятся на 7. Получаем: $z = \frac{4 * 1}{1 * 1} = 4$.

Ответ: z = 4

б) $\frac{3}{5}n = 2\frac{7}{10} - \frac{3}{5}$

Сначала нужно упростить правую часть уравнения, выполнив вычитание.
Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{3}{5} = \frac{3 * 2}{5 * 2} = \frac{6}{10}$.
Переводим смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{7}{10} = \frac{2*10 + 7}{10} = \frac{27}{10}$.
Теперь вычитаем: $\frac{27}{10} - \frac{6}{10} = \frac{27 - 6}{10} = \frac{21}{10}$.
Уравнение теперь выглядит так: $\frac{3}{5}n = \frac{21}{10}$.
Чтобы найти n, нужно разделить $\frac{21}{10}$ на $\frac{3}{5}$. Это то же самое, что умножить $\frac{21}{10}$ на $\frac{5}{3}$.
$n = \frac{21}{10} * \frac{5}{3} = \frac{21 * 5}{10 * 3}$.
Сокращаем дробь: 21 и 3 делятся на 3, а 5 и 10 делятся на 5. Получаем: $n = \frac{7 * 1}{2 * 1} = \frac{7}{2}$.
Переводим неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.

Ответ: $n = 3\frac{1}{2}$

в) $\frac{4}{9}b + \frac{3}{7} = 1$

Сначала нужно "убрать" $\frac{3}{7}$ из левой части уравнения. Для этого вычтем $\frac{3}{7}$ из обеих частей уравнения: $\frac{4}{9}b = 1 - \frac{3}{7}$.
Представим 1 как дробь со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.
Вычитаем: $\frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
Уравнение теперь выглядит так: $\frac{4}{9}b = \frac{4}{7}$.
Чтобы найти b, нужно разделить $\frac{4}{7}$ на $\frac{4}{9}$. Это то же самое, что умножить $\frac{4}{7}$ на $\frac{9}{4}$.
$b = \frac{4}{7} * \frac{9}{4} = \frac{4 * 9}{7 * 4}$.
Сокращаем дробь: 4 и 4 делятся на 4. Получаем: $b = \frac{1 * 9}{7 * 1} = \frac{9}{7}$.
Переводим неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$.

Ответ: $b = 1\frac{2}{7}$

г) $\frac{5}{9}m - \frac{1}{2} = \frac{5}{18}$

Сначала нужно "убрать" $\frac{1}{2}$ из левой части уравнения. Для этого прибавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения: $\frac{5}{9}m = \frac{5}{18} + \frac{1}{2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{2} = \frac{1 * 9}{2 * 9} = \frac{9}{18}$.
Складываем: $\frac{5}{18} + \frac{9}{18} = \frac{14}{18}$. Эту дробь можно сократить: $\frac{14}{18} = \frac{7}{9}$.
Уравнение теперь выглядит так: $\frac{5}{9}m = \frac{7}{9}$.
Чтобы найти m, нужно разделить $\frac{7}{9}$ на $\frac{5}{9}$. Это то же самое, что умножить $\frac{7}{9}$ на $\frac{9}{5}$.
$m = \frac{7}{9} * \frac{9}{5} = \frac{7 * 9}{9 * 5}$.
Сокращаем дробь: 9 и 9 делятся на 9. Получаем: $m = \frac{7 * 1}{1 * 5} = \frac{7}{5}$.
Переводим неправильную дробь в смешанное число: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.

Ответ: $m = 1\frac{2}{5}$