Вычислите по формуле площади прямоугольника S = ab значение:
а) S при $a = 5\frac{1}{7}$ и $b = \frac{4}{9}$;
б) b при $S = 19$ и $a = 9\frac{1}{2}$.

Для решения данной задачи, нам понадобится знание формулы площади прямоугольника и умение работать с обыкновенными дробями, особенно со смешанными числами.

Теория:

1. Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. Формула: S = a * b, где S − площадь, a − длина, b − ширина.

2. Смешанные числа: Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например, $5\frac{1}{7}$ − это смешанное число, где 5 − целая часть, а $\frac{1}{7}$ − дробная часть.

3. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь: Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.
Например: $5\frac{1}{7} = \frac{5 * 7 + 1}{7} = \frac{35 + 1}{7} = \frac{36}{7}$.

4. Умножение обыкновенных дробей: Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно умножить их числители и умножить их знаменатели.
Например: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a * c}{b * d}$.

5. Деление обыкновенных дробей: Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Обратная дробь получается путем перестановки числителя и знаменателя.
Например: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a * d}{b * c}$.

6. Сокращение дробей: Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на этот общий множитель. Это упрощает вычисления.

Теперь, когда мы повторили необходимую теорию, решим задачу.

а) S при $a = 5\frac{1}{7}$ и $b = \frac{4}{9}$:

$S = a * b$
$S = 5\frac{1}{7} * \frac{4}{9}$

Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{7}$ в неправильную дробь:
$5\frac{1}{7} = \frac{5 * 7 + 1}{7} = \frac{35 + 1}{7} = \frac{36}{7}$

Теперь умножаем дроби:
$S = \frac{36}{7} * \frac{4}{9} = \frac{36 * 4}{7 * 9}$

Сокращаем дробь. Замечаем, что 36 и 9 имеют общий множитель 9:
$\frac{36}{9} = 4$, $\frac{9}{9} = 1$
$S = \frac{4 * 4}{7 * 1} = \frac{16}{7}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{16}{7}$ в смешанное число:
Делим 16 на 7 с остатком: 16 = 2 * 7 + 2
Значит, $\frac{16}{7} = 2\frac{2}{7}$

Ответ: $S = 2\frac{2}{7}$

б) b при $S = 19$ и $a = 9\frac{1}{2}$:

Так как $S = a * b$, то $b = S : a$
$b = 19 : 9\frac{1}{2}$

Сначала преобразуем смешанное число $9\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:
$9\frac{1}{2} = \frac{9 * 2 + 1}{2} = \frac{18 + 1}{2} = \frac{19}{2}$

Теперь делим:
$b = 19 : \frac{19}{2} = 19 * \frac{2}{19}$

Сокращаем дробь. Замечаем, что 19 и 19 имеют общий множитель 19:
$\frac{19}{19} = 1$, $\frac{19}{19} = 1$
$b = 1 * \frac{2}{1} = 2$

Ответ: b = 2