Вычислите значение частного:
а) $5\frac{1}{4} : \frac{4}{5}$;
б) $\frac{2}{13} : 2\frac{2}{13}$;
в) $2\frac{4}{7} : 1\frac{3}{10}$;
г) $10\frac{3}{5} : 3\frac{3}{5}$;
д) $5\frac{1}{4} : 1\frac{3}{4}$;
е) $5\frac{3}{7} : 3$;
ж) $0 : 10\frac{7}{15}$;
з) $5\frac{1}{16} : 1$.

Теория

1. Что такое дробь?

Дробь − это способ записи числа, которое представляет собой часть целого. Дробь состоит из числителя (верхнее число) и знаменателя (нижнее число). Например, в дроби $\frac{3}{4}$:

3 − это числитель
4 − это знаменатель

2. Виды дробей

Правильная дробь: Числитель меньше знаменателя (например, $\frac{2}{5}$).
Неправильная дробь: Числитель больше или равен знаменателю (например, $\frac{7}{3}$).
Смешанная дробь: Состоит из целой части и дробной части (например, $2\frac{1}{3}$).

3. Как перевести смешанную дробь в неправильную?

Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно:

1. Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
2. Прибавить полученное число к числителю дробной части.
3. Записать полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Пример: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

4. Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно:

1. Заменить знак деления на знак умножения.
2. Перевернуть вторую дробь (то есть поменять местами числитель и знаменатель). Это называется взятием обратной дроби.
3. Умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь.

Пример: $\frac{1}{2} : \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6}$

5. Умножение дробей

Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно:

1. Умножить числители дробей.
2. Умножить знаменатели дробей.
3. Записать полученные произведения в числитель и знаменатель новой дроби.

Пример: $\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15}$

6. Сокращение дробей

Чтобы сократить дробь, нужно:

1. Найти общий делитель для числителя и знаменателя.
2. Разделить числитель и знаменатель на этот общий делитель.

Пример: $\frac{4}{6} = \frac{4:2}{6:2} = \frac{2}{3}$

7. Деление на 1 и деление нуля
При делении любого числа на 1 получается тоже самое число
При делении нуля на любое число получается нуль

Решение задач

Теперь давай решим примеры, подробно описывая каждый шаг:

а) $5\frac{1}{4} : \frac{4}{5} = \frac{21}{4} : \frac{4}{5} = \frac{21}{4} \cdot \frac{5}{4} = \frac{21 \cdot 5}{4 \cdot 4} = \frac{105}{16} = 6\frac{9}{16}$

Смешанную дробь $5\frac{1}{4}$ перевели в неправильную: $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
Заменили деление на умножение и перевернули вторую дробь: $\frac{4}{5}$ стало $\frac{5}{4}$
Умножили числители и знаменатели: $\frac{21 \cdot 5}{4 \cdot 4} = \frac{105}{16}$
Выделили целую часть из неправильной дроби: $\frac{105}{16} = 6\frac{9}{16}$

б) $\frac{2}{13} : 2\frac{2}{13} = \frac{2}{13} : \frac{28}{13} = \frac{2}{13} \cdot \frac{13}{28} = \frac{2 \cdot 13}{13 \cdot 28} = \frac{26}{364} = \frac{1}{14}$

Смешанную дробь $2\frac{2}{13}$ перевели в неправильную: $2\frac{2}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{28}{13}$
Заменили деление на умножение и перевернули вторую дробь: $\frac{28}{13}$ стало $\frac{13}{28}$
Умножили числители и знаменатели: $\frac{2 \cdot 13}{13 \cdot 28} = \frac{26}{364}$
Сократили дробь: $\frac{26}{364} = \frac{1}{14}$

в) $2\frac{4}{7} : 1\frac{3}{10} = \frac{18}{7} : \frac{13}{10} = \frac{18}{7} \cdot \frac{10}{13} = \frac{18 \cdot 10}{7 \cdot 13} = \frac{180}{91} = 1\frac{89}{91}$

Смешанную дробь $2\frac{4}{7}$ перевели в неправильную: $2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{18}{7}$
Смешанную дробь $1\frac{3}{10}$ перевели в неправильную: $1\frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{13}{10}$
Заменили деление на умножение и перевернули вторую дробь: $\frac{13}{10}$ стало $\frac{10}{13}$
Умножили числители и знаменатели: $\frac{18 \cdot 10}{7 \cdot 13} = \frac{180}{91}$
Выделили целую часть из неправильной дроби: $\frac{180}{91} = 1\frac{89}{91}$

г) $10\frac{3}{5} : 3\frac{3}{5} = \frac{53}{5} : \frac{18}{5} = \frac{53}{5} \cdot \frac{5}{18} = \frac{53 \cdot 5}{5 \cdot 18} = \frac{265}{90} = \frac{53}{18} = 2\frac{17}{18}$

Смешанную дробь $10\frac{3}{5}$ перевели в неправильную: $10\frac{3}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{53}{5}$
Смешанную дробь $3\frac{3}{5}$ перевели в неправильную: $3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$
Заменили деление на умножение и перевернули вторую дробь: $\frac{18}{5}$ стало $\frac{5}{18}$
Умножили числители и знаменатели: $\frac{53 \cdot 5}{5 \cdot 18} = \frac{265}{90}$
Сократили дробь: $\frac{265}{90} = \frac{53}{18}$
Выделили целую часть из неправильной дроби: $\frac{53}{18} = 2\frac{17}{18}$

д) $5\frac{1}{4} : 1\frac{3}{4} = \frac{21}{4} : \frac{7}{4} = \frac{21}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{21 \cdot 4}{4 \cdot 7} = \frac{84}{28} = 3$

Смешанную дробь $5\frac{1}{4}$ перевели в неправильную: $5\frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$
Смешанную дробь $1\frac{3}{4}$ перевели в неправильную: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$
Заменили деление на умножение и перевернули вторую дробь: $\frac{7}{4}$ стало $\frac{4}{7}$
Умножили числители и знаменатели: $\frac{21 \cdot 4}{4 \cdot 7} = \frac{84}{28}$
Сократили дробь: $\frac{84}{28} = 3$

е) $5\frac{3}{7} : 3 = \frac{38}{7} : \frac{3}{1} = \frac{38}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{38 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{38}{21} = 1\frac{17}{21}$

Смешанную дробь $5\frac{3}{7}$ перевели в неправильную: $5\frac{3}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{38}{7}$
Заменили деление на умножение и перевернули вторую дробь: $\frac{3}{1}$ стало $\frac{1}{3}$
Умножили числители и знаменатели: $\frac{38 \cdot 1}{7 \cdot 3} = \frac{38}{21}$
Выделили целую часть из неправильной дроби: $\frac{38}{21} = 1\frac{17}{21}$

ж) $0 : 10\frac{7}{15} = 0 : \frac{157}{15} = 0 \cdot \frac{15}{157} = 0$

При делении нуля на любое число получается нуль.

з) $5\frac{1}{16} : 1 = \frac{81}{16} : \frac{1}{1} = \frac{81}{16} \cdot \frac{1}{1} = \frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$

Смешанную дробь $5\frac{1}{16}$ перевели в неправильную: $5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{81}{16}$
Заменили деление на умножение и перевернули вторую дробь: $\frac{1}{1}$ стало $\frac{1}{1}$
Умножили числители и знаменатели: $\frac{81 \cdot 1}{16 \cdot 1} = \frac{81}{16}$
Выделили целую часть из неправильной дроби: $\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16}$

Ответ:
а) $6\frac{9}{16}$
б) $\frac{1}{14}$
в) $1\frac{89}{91}$
г) $2\frac{17}{18}$
д) $3$
е) $1\frac{17}{21}$
ж) $0$
з) $5\frac{1}{16}$