Найдите частное:
а) $\frac{4}{7} : \frac{16}{49}$;
б) $\frac{5}{9} : \frac{1}{2}$;
в) $\frac{12}{25} : \frac{8}{15}$;
г) $\frac{9}{14} : \frac{18}{35}$.

Чтобы решить данную задачу, нам нужно вспомнить правило деления обыкновенных дробей.

Теория:

Деление дробей − это математическая операция, которая позволяет разделить одну дробь на другую. Чтобы разделить дробь $\frac{a}{b}$ на дробь $\frac{c}{d}$, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Обратной дробью для $\frac{c}{d}$ является дробь $\frac{d}{c}$.

То есть:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

После умножения числителей и знаменателей, если это возможно, дробь нужно сократить.
Если в результате получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), её можно представить в виде смешанного числа, выделив целую часть.

Теперь решим примеры из задания:

а) $\frac{4}{7} : \frac{16}{49}$

Чтобы разделить $\frac{4}{7}$ на $\frac{16}{49}$, умножим $\frac{4}{7}$ на дробь, обратную $\frac{16}{49}$, то есть на $\frac{49}{16}$.

$\frac{4}{7} : \frac{16}{49} = \frac{4}{7} \cdot \frac{49}{16}$

Теперь умножаем числители и знаменатели:
$\frac{4 \cdot 49}{7 \cdot 16}$

Сократим дробь:
4 и 16 сокращаем на 4: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
7 и 49 сокращаем на 7: $\frac{7}{49} = \frac{1}{7}$

Получаем: $\frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 4} = \frac{7}{4}$

Теперь выделим целую часть:
$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ответ: $1\frac{3}{4}$

б) $\frac{5}{9} : \frac{1}{2}$

Чтобы разделить $\frac{5}{9}$ на $\frac{1}{2}$, умножим $\frac{5}{9}$ на дробь, обратную $\frac{1}{2}$, то есть на $\frac{2}{1}$.

$\frac{5}{9} : \frac{1}{2} = \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{1}$

Умножаем числители и знаменатели:
$\frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 1} = \frac{10}{9}$

Теперь выделим целую часть:
$\frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$

Ответ: $1\frac{1}{9}$

в) $\frac{12}{25} : \frac{8}{15}$

Чтобы разделить $\frac{12}{25}$ на $\frac{8}{15}$, умножим $\frac{12}{25}$ на дробь, обратную $\frac{8}{15}$, то есть на $\frac{15}{8}$.

$\frac{12}{25} : \frac{8}{15} = \frac{12}{25} \cdot \frac{15}{8}$

Умножаем числители и знаменатели:
$\frac{12 \cdot 15}{25 \cdot 8}$

Сократим дробь:
12 и 8 сокращаем на 4: $\frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
15 и 25 сокращаем на 5: $\frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

Получаем: $\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10}$

г) $\frac{9}{14} : \frac{18}{35}$

Чтобы разделить $\frac{9}{14}$ на $\frac{18}{35}$, умножим $\frac{9}{14}$ на дробь, обратную $\frac{18}{35}$, то есть на $\frac{35}{18}$.

$\frac{9}{14} : \frac{18}{35} = \frac{9}{14} \cdot \frac{35}{18}$

Умножаем числители и знаменатели:
$\frac{9 \cdot 35}{14 \cdot 18}$

Сократим дробь:
9 и 18 сокращаем на 9: $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
14 и 35 сокращаем на 7: $\frac{14}{35} = \frac{2}{5}$

Получаем: $\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4}$

Теперь выделим целую часть:
$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$