Найдите произведение:
а) $9 * \frac{1}{9}$;
б) $\frac{1}{23} * 23$;
в) $\frac{13}{101} * \frac{101}{13}$;
г) $\frac{99}{646} * \frac{646}{99}$;
д) $\frac{5}{12} * 2\frac{2}{5}$;
е) $2\frac{5}{6} * \frac{6}{17}$;
ж) $\frac{4}{15} * 3,75$;
з) $0,6 * 1\frac{2}{3}$.

Для решения этих примеров нам понадобится знание следующих понятий и правил:

1. Обыкновенные дроби: Числа вида $\frac{a}{b}$, где $a$ − числитель, $b$ − знаменатель.
2. Смешанные числа: Числа, состоящие из целой и дробной части, например $2\frac{2}{5}$.
3. Десятичные дроби: Дроби, записанные с использованием десятичной запятой, например 0,6.
4. Умножение обыкновенных дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и знаменатели: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$.
5. Представление целого числа в виде дроби: Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, например $9 = \frac{9}{1}$.
6. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь: Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, прибавить числитель дробной части и записать результат в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Например, $2\frac{2}{5} = \frac{2*5 + 2}{5} = \frac{12}{5}$.
7. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной: Чтобы представить десятичную дробь в виде обыкновенной, нужно записать число без запятой в числитель, а в знаменатель записать 1 и столько нулей, сколько знаков после запятой в десятичной дроби. Например, $0,6 = \frac{6}{10}$.
8. Сокращение дробей: Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель. Например, $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ (делим и числитель, и знаменатель на 2).
9. Взаимно−обратные числа: Два числа называются взаимно−обратными, если их произведение равно 1. Например, $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$ − взаимно−обратные числа.

Теперь решим примеры:

а) $9 * \frac{1}{9} = \frac{9}{1} * \frac{1}{9} = \frac{9*1}{1*9} = \frac{9}{9} = 1$

б) $\frac{1}{23} * 23 = \frac{1}{23} * \frac{23}{1} = \frac{1*23}{23*1} = \frac{23}{23} = 1$

в) $\frac{13}{101} * \frac{101}{13} = \frac{13*101}{101*13} = \frac{1313}{1313} = 1$

г) $\frac{99}{646} * \frac{646}{99} = \frac{99*646}{646*99} = \frac{646*99}{646*99} = 1$

д) $\frac{5}{12} * 2\frac{2}{5} = \frac{5}{12} * \frac{2*5 + 2}{5} = \frac{5}{12} * \frac{12}{5} = \frac{5*12}{12*5} = \frac{60}{60} = 1$

е) $2\frac{5}{6} * \frac{6}{17} = \frac{2*6 + 5}{6} * \frac{6}{17} = \frac{17}{6} * \frac{6}{17} = \frac{17*6}{6*17} = \frac{102}{102} = 1$

ж) $\frac{4}{15} * 3,75 = \frac{4}{15} * \frac{375}{100} = \frac{4}{15} * \frac{25*15}{25*4} = \frac{4}{15} * \frac{15}{4} = \frac{4*15}{15*4} = \frac{60}{60} = 1$

з) $0,6 * 1\frac{2}{3} = \frac{6}{10} * \frac{1*3 + 2}{3} = \frac{6}{10} * \frac{5}{3} = \frac{3*2}{5*2} * \frac{5}{3} = \frac{3}{5} * \frac{5}{3} = \frac{3*5}{5*3} = \frac{15}{15} = 1$

Ответы:

а) 1
б) 1
в) 1
г) 1
д) 1
е) 1
ж) 1
з) 1