Решите уравнение:
а) $\frac{1}{4}x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{12}x = 5$;
б) $3\frac{1}{5}y - 2\frac{6}{25}y = \frac{24}{25}$;
в) $1\frac{3}{8}x - \frac{7}{16}x = 1\frac{7}{8}$.

Теория для решения уравнений

Прежде чем решать уравнения, давай вспомним основные правила, которые нам понадобятся:

1. Приведение подобных слагаемых: Если у нас есть несколько слагаемых с одинаковой переменной (например, x), мы можем сложить или вычесть их коэффициенты. Например, 2x + 3x можно упростить до 5x.

2. Основное свойство пропорции (для уравнений с дробями): Чтобы избавиться от дробей в уравнении, можно умножить обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей.

3. Арифметические действия с дробями:
Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числители и знаменатели.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь.

4. Решение уравнения: Наша цель − выразить переменную (например, x или y) через известные числа. Для этого мы используем обратные операции: если в уравнении есть сложение, мы вычитаем; если есть умножение, мы делим, и так далее.

*Решение уравнений

Теперь давай решим каждое уравнение по шагам.

а) $\frac{1}{4}x + \frac{2}{3}x + \frac{1}{12}x = 5$

1. Приведем дроби к общему знаменателю: Общий знаменатель для 4, 3 и 12 − это 12.
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{1}{12}$ остается без изменений.

2. Перепишем уравнение с общим знаменателем:
$\frac{3}{12}x + \frac{8}{12}x + \frac{1}{12}x = 5$

3. Сложим дроби:
$(\frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{1}{12})x = \frac{12}{12}x = 1x = x$

4. Получаем уравнение:
$x = 5$

Ответ: $x = 5$

б) $3\frac{1}{5}y - 2\frac{6}{25}y = \frac{24}{25}$

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$
$2\frac{6}{25} = \frac{2 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{56}{25}$

2. Перепишем уравнение:
$\frac{16}{5}y - \frac{56}{25}y = \frac{24}{25}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю: Общий знаменатель для 5 и 25 − это 25.
$\frac{16}{5} = \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{80}{25}$

4. Перепишем уравнение с общим знаменателем:
$\frac{80}{25}y - \frac{56}{25}y = \frac{24}{25}$

5. Вычтем дроби:
$(\frac{80}{25} - \frac{56}{25})y = \frac{24}{25}y$

6. Получаем уравнение:
$\frac{24}{25}y = \frac{24}{25}$

7. Решим уравнение: Чтобы найти y, разделим обе части уравнения на $\frac{24}{25}$:
$y = \frac{24}{25} : \frac{24}{25} = \frac{24}{25} \cdot \frac{25}{24} = 1$

Ответ: $y = 1$

в) $1\frac{3}{8}x - \frac{7}{16}x = 1\frac{7}{8}$

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8}$
$1\frac{7}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$

2. Перепишем уравнение:
$\frac{11}{8}x - \frac{7}{16}x = \frac{15}{8}$

3. Приведем дроби к общему знаменателю: Общий знаменатель для 8 и 16 − это 16.
$\frac{11}{8} = \frac{11 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{22}{16}$

4. Перепишем уравнение с общим знаменателем:
$\frac{22}{16}x - \frac{7}{16}x = \frac{15}{8}$

5. Вычтем дроби:
$(\frac{22}{16} - \frac{7}{16})x = \frac{15}{16}x$

6. Получаем уравнение:
$\frac{15}{16}x = \frac{15}{8}$

7. Решим уравнение: Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на $\frac{15}{16}$:
$x = \frac{15}{8} : \frac{15}{16} = \frac{15}{8} \cdot \frac{16}{15} = \frac{15 \cdot 16}{8 \cdot 15} = \frac{16}{8} = 2$

Ответ: $x = 2$